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法律研究如果\( \cot \theta=\sqrt{3} \)，求\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta} \)的值。
已知
\( \cot \theta=\sqrt{3} \)
求解
我們要求\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta} \)的值。
解：
$\cot \theta=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \cot^{2} \theta=(\sqrt{3})^2=3$
$\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cot ^{2} \theta}$
$=\frac{1}{3}$
$\operatorname{cosec}^{2} \theta=1+\cot ^{2} \theta=1+3=4$
$=1+3$
$=4$
$\sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta$
$=1+\frac{1}{3}$
$=\frac{4}{3}$
因此，
$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}=\frac{4+3}{4-\frac{4}{3}}$
$=\frac{7}{\frac{12-4}{3}}$
$=\frac{7}{\frac{8}{3}}$
$=\frac{7 \times 3}{8}$
$=\frac{21}{8}$
\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta} \)的值為$\frac{21}{8}$。
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