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法學如果\( \sin \theta=\frac{3}{4} \)，證明\( \sqrt{\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}{\sec ^{2} \theta-1}}=\frac{\sqrt{7}}{3} \)
已知
\( \sin \theta=\frac{3}{4} \)
要求
我們必須證明\( \sqrt{\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}{\sec ^{2} \theta-1}}=\frac{\sqrt{7}}{3} \).
解：
設在直角三角形ABC中，∠B為直角，$\ sin\ \theta = sin\ A = \frac{3}{4}$。
我們知道：
在以B為直角的直角三角形ABC中：
根據勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角比的定義：
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cosec\ \theta=\frac{斜邊}{對邊}=\frac{AC}{BC}$
$sec\ \theta=\frac{斜邊}{鄰邊}=\frac{AC}{AB}$
$cot\ \theta=\frac{鄰邊}{對邊}=\frac{AB}{BC}$
這裡：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (4)^2=AB^2+(3)^2$
$\Rightarrow AB^2=16-9$
$\Rightarrow AB=\sqrt{7}$
因此：
$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$
$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{\sqrt7}$
$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt7}{3}$
現在：
讓我們考慮左邊：
$\sqrt{\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}{\sec ^{2} \theta-1}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{2} -\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^{2}}{\left(\frac{4}{\sqrt{7}}\right)^{2} -1}}$
$=\sqrt{\frac{\frac{16}{9} -\frac{7}{9}}{\frac{16}{7} -1}}$
$=\sqrt{\frac{\frac{16-7}{9}}{\frac{16-7}{7}}}$
$=\sqrt{\frac{\frac{9}{9}}{\frac{9}{7}}}$
$=\sqrt{1\times \frac{7}{9}}$
$=\sqrt{\frac{7}{9}}$
$=\frac{\sqrt{7}}{3}$
$=$ 右邊
證畢。
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