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法律研究如果\( \cot \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \)，證明\( \frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5} \)
已知
$cot\ \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
要求
我們必須證明\( \frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5} \)。
解：
假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，$\ cot\ \theta = cot\ A = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$cot\ \theta=\frac{鄰邊}{對邊}=\frac{AB}{BC}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(1)^2+(\sqrt3)^2$
$\Rightarrow AC^2=1+3$
$\Rightarrow AC=\sqrt{4}=2$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$
讓我們考慮左邊，
$\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$
$=\frac{1-\frac{1}{4}}{2-\frac{3}{4}}$
$=\frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{8-3}{4}}$
$=\frac{3}{5}$
$=$ 右邊
因此得證。
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