證明：\( \frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\cot \theta \)

待辦事項

我們需要證明\( \frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\cot \theta \).

解答

我們知道：

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此：

$\frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\frac{1-\sin ^{2} \theta+\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\cos ^{2} \theta+\cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\cos \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\cos \theta(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$=\cot \theta$

證畢。     

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更新於： 2022年10月10日

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