證明：$\sin ^{6} \theta+\cos ^{6} \theta=1-3 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$。

已知：$\sin ^{6} \theta+\cos ^{6} \theta=1-3 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$。

要求：證明 $左邊=右邊$。

解答

$左邊=sin^6\theta+cos^6\theta$

$=(sin^2\theta)^3+(cos^2\theta)^3$

設 $sin^2\theta=a$ 且 $cos^2\theta=b$

$\therefore 左邊=a^3+b^3$

$=( a+b)^3-3ab( a+b)$

$=(sin^2\theta+cos^2\theta)^3-3sin^2\theta cos^2\theta(sin^2\theta+cos^2\theta)$

$=( 1)^3-3sin^2\theta cos^2\theta$          $[\because sin^2\theta+cos^2\theta=1]$

$=1-3sin^2\theta cos^2\theta$

$=右邊$

教程點

更新於：2022年10月10日

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