證明以下等式
\( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}=2 \operatorname{cosec} \theta \)

已知

\( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}=2 \operatorname{cosec} \theta \)

要求

我們必須證明\( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}=2 \operatorname{cosec} \theta \)

解答

我們知道：

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$

因此：

左邊 $=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}+\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$

$=\frac{\sin ^{2} \theta+(1+\cos \theta)^{2}}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{1+1+2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{2(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{2}{\sin \theta}$

$=2 \operatorname{cosec} \theta$

= 右邊

證畢。

教程點

更新於：2022年10月10日

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