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法律研究證明：\( \frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta} \)
待辦事項
我們需要證明 \( \frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta} \)。
解答
我們知道，
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
$\frac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\frac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}{\{(1+\cos \theta)-\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}$ (將分子和分母乘以 $1+\cos \theta+\sin \theta$)
$=\frac{[(1+\cos \theta)+\sin \theta]^{2}}{(1+\cos \theta)^{2}-\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta-\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{2+2 \cos \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta-\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}$
$=\frac{2(1+\cos \theta)+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{2 \cos ^{2} \theta+2 \cos \theta}$
$=\frac{2(1+\cos \theta)(1+\sin \theta)}{2 \cos \theta(1+\cos \theta)}$
$=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$
證畢。
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