若\( \sin \theta+2 \cos \theta=1 \)，證明\( 2 \sin \theta-\cos \theta=2 \)。

已知

 \( \sin \theta+2 \cos \theta=1 \)

要求

我們需要證明\( 2 \sin \theta-\cos \theta=2 \)。

解答：  

$ \sin \theta+2 \cos \theta=1 $

兩邊平方，得到：
$(\sin \theta+2 \cos \theta)^{2}=1$
$\Rightarrow \sin ^{2} \theta+4 \cos ^{2} \theta+4 \sin \theta \cos \theta=1$
$\Rightarrow (1-\cos ^{2} \theta)+4(1-\sin ^{2} \theta)+4 \sin \theta \cos \theta=1$        [因為 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$]

$\Rightarrow -\cos ^{2} \theta-4 \sin ^{2} \theta+4 \sin \theta \cos \theta=-4 $

$\Rightarrow  4 \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta-4 \sin \theta \cos \theta=4$
$\Rightarrow (2 \sin \theta-\cos \theta)^{2}=4$     [因為 $a^{2}+b^{2}-2 ab=(a-b)^{2}$]  

$\Rightarrow  2 \sin \theta-\cos \theta=2$
證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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