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法律研究如果\( \tan \theta=\frac{20}{21} \)，證明\( \frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1+\sin \theta+\cos \theta}=\frac{3}{7} \)
已知
\( \tan \theta=\frac{20}{21} \)
要求
我們需要證明\( \frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1+\sin \theta+\cos \theta}=\frac{3}{7} \).
解：
設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，且 $\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{20}{21}$.
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(21)^2+(20)^2$
$\Rightarrow AC^2=441+400$
$\Rightarrow AC=\sqrt{841}=29$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{20}{29}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{21}{29}$
讓我們考慮左側，
$\frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1+\sin \theta+\cos \theta}==\frac{1-\left(\frac{20}{29}\right) +\left(\frac{21}{29}\right)}{1+\left(\frac{20}{29}\right) +\left(\frac{21}{29}\right)}$
$=\frac{\frac{29-20+21}{29}}{\frac{29+20+21}{29}}$
$=\frac{50-20}{70}$
$=\frac{30}{70}$
$=\frac{3}{7}$
$=$ 右側
因此得證。
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