證明以下三角恆等式：\( \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \)

待辦事項

我們需要證明\( \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \).

解答

我們知道：

$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(i)

因此：

$\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\times \frac{1+\cos \theta}{1+\cos \theta}$ (分子分母同乘以$1+\cos \theta$)

$=\frac{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}{(\sin \theta)(1+\cos \theta)}$

$=\frac{1^2-\cos^2 \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$

$=\frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ (根據(i))

$=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$

證畢。  

教程點

更新於：2022年10月10日

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