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法學研究如果 \( \sin \theta=\frac{3}{5} \)，求 \( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) 的值。
已知
\( \sin \theta=\frac{3}{5} \).
求解
我們需要求 \( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) 的值。
解：
設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$sin\ \theta = sin\ A=\frac{3}{5}$。
我們知道：
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中：
根據勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角比定義：
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
$cot\ \theta=\frac{鄰邊}{對邊}=\frac{AB}{BC}$
這裡：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (5)^2=AB^2+(3)^2$
$\Rightarrow AB^2=25-9$
$\Rightarrow AB=\sqrt{16}=4$
因此：
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow \frac{1}{tan\ \theta}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$
$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$
這意味著：
$\frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta}=\frac{\left(\frac{4}{5}\right) -\left(\frac{4}{3}\right)}{2\left(\frac{4}{3}\right)}$
$=\frac{\frac{3( 4) -5( 4)}{5( 3)}}{\frac{8}{3}}$
$=\frac{\frac{12-20}{15}}{\frac{8}{3}}$
$=\frac{-8}{15} \times \frac{3}{8}$
$=\frac{-1}{5}$
\( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) 的值為 \( \frac{-1}{5} \)。
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