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法學如果\( \sin \theta=\frac{12}{13} \)，求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
已知
\( \sin \theta=\frac{12}{13} \).
求解
我們需要求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。
解:
設在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90°$，且$\ sin\ \theta = sin\ A=\frac{12}{13}$。
我們知道：
在以$B$為直角的直角三角形$ABC$中：
根據勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式定義：
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (13)^2=AB^2+(12)^2$
$\Rightarrow AB^2=169-144$
$\Rightarrow AB=\sqrt{25}=5$
因此：
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$
$\frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}=\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^{2} -\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}{2\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)} \times \frac{1}{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{144-25}{169}}{\frac{120}{169}} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119}{120} \times \frac{25}{144}$
$=\frac{119\times 5}{24\times 144}$
$=\frac{595}{3456}$
\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值為\( \frac{595}{3456} \)。
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