如果\( \tan \theta=\frac{12}{13} \)，求\( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} \)的值。

已知

$tan\ \theta = \frac{12}{13}$。

要求

我們必須找到\( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} \)的值。

解:  

假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$ 且 $\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{12}{13}$。

我們知道，

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根據勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式定義，

$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(13)^2+(12)^2$

$\Rightarrow AC^2=169+144$

$\Rightarrow AC=\sqrt{313}$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{\sqrt{313}}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{13}{\sqrt{313}}$

$\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta}=\frac{2\times \left(\frac{12}{\sqrt{313}}\right) \times \left(\frac{13}{\sqrt{313}}\right)}{\left(\frac{13}{\sqrt{313}}\right)^{2} -\left(\frac{12}{\sqrt{313}}\right)^{2}}$

$=\frac{\frac{312}{313}}{\frac{169-144}{313}}$

$=\frac{312}{25}$

\( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} \)的值為\( \frac{312}{25} \)。 

教程點

更新於: 2022年10月10日

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