證明以下恆等式：\( \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \)

待辦事項

我們需要證明\( \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \)。

解答

我們知道，

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此，

$\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1+(\sec \theta-\tan \theta)}{1+\sec \theta+\tan \theta}$

$=\frac{\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)+(\sec \theta-\tan \theta)}{1+\sec \theta+\tan \theta}$

$=\frac{(\sec \theta-\tan \theta)(\sec \theta+\tan \theta)+(\sec \theta-\tan \theta)}{1+\sec \theta+\tan \theta}$

$=\frac{(\sec \theta-\tan \theta)[\sec \theta+\tan \theta+1]}{1+\sec \theta+\tan \theta}$

$=\sec \theta-\tan \theta$

$=\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$

教程點

更新於: 2022年10月10日

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