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法律研究如果 \( tan \theta = \frac{a}{b} \)，證明\( \frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \).
已知
$tan\ θ = \frac{a}{b}$。
要求
我們必須證明
\( \frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \).
解：
假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ tan\ \theta = tan\ A = \frac{a}{b}$。
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2=(b)^2+(a)^2$
$\Rightarrow AC^2=b^2+a^2$
$\Rightarrow AC=\sqrt{a^2+b^2}$
因此，
$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
這意味著，讓我們考慮 LHS，
$\frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right) -b\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right)}{a\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right) +b\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right)}$
$=\frac{\frac{a^{2} -b^{2}}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{a^{2} +b^{2}}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$
$=\frac{a^{2} -b^{2}}{a^{2} +b^{2}}$
$=$ RHS
證畢。
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