如果$\frac{x}{a}cos\theta+\frac{y}{b}sin\theta=1$ 且 $\frac{x}{a}sin\theta-\frac{y}{b}cos\theta=1$，證明 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2$。

已知：$\frac{x}{a}cos\theta+\frac{y}{b}sin\theta=1$ 和 $\frac{x}{a}sin\theta-\frac{y}{b}cos\theta=1$

要求：證明 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2$。

$\frac{x}{a}cos\theta+\frac{y}{b}sin\theta=1\ -----( 1)$

$\frac{x}{a}sin\theta-\frac{y}{b}cos\theta=1\ -----( 2)$

將兩個方程分別平方後相加，

$\frac{x^2}{a^2}cos^2\theta+\frac{y^2}{b^2}sin^2\theta+\frac{2xy}{ab}sin\theta.cos\theta+\frac{x^2}{a^2}sin^2\theta+\frac{y^2}{b^2}cos^2\theta-\frac{2xy}{ab}sin\theta.cos\theta=2$

$\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}( cos^2\theta+sin^2\theta)+\frac{y^2}{b^2}( sin^2\theta + cos^2\theta )=2$

$\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}\times1+\frac{y^2}{b^2}\times1=2$       [ $\because sin^2x + cos^2x = 1$ 根據三角恆等式 ]

$\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2$

證畢。