若\( x=a \cos ^{3} \theta, y=b \sin ^{3} \theta \)，證明\( \left(\frac{x}{a}\right)^{2 / 3}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2 / 3}=1 \)

已知

\( x=a \cos ^{3} \theta, y=b \sin ^{3} \theta \)

要求

我們需要證明\( \left(\frac{x}{a}\right)^{2 / 3}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2 / 3}=1 \)。

解答

我們知道：

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此，

$x=a \cos ^{3} \theta$

$\Rightarrow \frac{x}{a}=\cos ^{3} \theta$

$y=b \sin ^{3} \theta$

$\Rightarrow \frac{y}{b}=\sin ^{3} \theta$

這意味著，
$\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\cos ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\sin ^{3} \theta\right)^{2}$

$=\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$

$=1$

證畢。    

教程點

更新於: 2022年10月10日

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