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法學已知 \( x=a \sec \theta \cos \phi, y=b \sec \theta \sin \phi \) 和 \( z=c \tan \theta \)，證明 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \)
已知
\( x=a \sec \theta \cos \phi, y=b \sec \theta \sin \phi \) 和 \( z=c \tan \theta \)
要求
我們需要證明 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \)
解答：
$ x=a \sec \theta \cos \phi$
$\Rightarrow \frac{x}{a}=\sec \theta \cos \phi $
$ y=b \sec \theta \sin \phi$
$\Rightarrow \frac{y}{b}=\sec \theta \sin \phi $
$z=c \tan \theta$
$\Rightarrow \frac{z}{c}=\tan \theta $
因此，
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=\sec ^{2} \theta \cos ^{2} \phi+\sec ^{2} \theta \sin ^{2} \phi-\tan ^{2} \theta$
$=\sec ^{2} \theta(\cos ^{2} \phi+\sin ^{2} \phi)-\tan ^{2} \theta$ [因為 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$]
$=\sec ^{2} \theta (1)-\tan ^{2} \theta$
$=\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta$
$=1$ [因為 $\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1$]
證畢。
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