資料結構
網路
關係型資料庫管理系統
作業系統
Java
微軟 Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法律研究\( A B \)是圓的直徑，圓心為\( O \)。\( C \)是圓周上的一點，使得\( \angle C O B=\theta \)。由\( A C \)截斷的小弓形的面積等於扇形\( B O C \)面積的兩倍。證明\( \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120}\right) \)
"\n
已知
\( A B \)是圓的直徑，圓心為\( O \)。\( C \)是圓周上的一點，使得\( \angle C O B=\theta \)。
由\( A C \)截斷的小弓形的面積等於扇形\( B O C \)面積的兩倍。
要求
我們需要證明\( \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120}\right) \)。
解答
設圓的半徑為 $r$。
從圖中，
$\angle \mathrm{BOC}=\theta$
這意味著，
$\mathrm{AOC}=180^{\circ}-\theta$
扇形 $\mathrm{BOC}$ 的面積 $=\pi r^{2} \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
小弓形 $\mathrm{AC}$ 的面積 $=2$ (扇形 BOC 的面積)
$=2 \times \pi r^{2} \frac{\theta}{360^{\circ}}$
$=\frac{2 \pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$............(i)
弓形的面積 $=(\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin \frac{180^{\circ}-\theta}{2} \cos \frac{180^{\circ}-\theta}{2}) r^{2}$.............(ii)
從 (i) 和 (ii) 中，我們得到，
$\frac{2 \pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}=r^{2}(\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin \frac{180^{\circ}-\theta}{2} \cos \frac{180^{\circ}-\theta}{2})$
$\Rightarrow \frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}=[\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin (90^{\circ}-\frac{\theta}{2}) \cos (90^{\circ}-\frac{\theta}{2})]$
$\Rightarrow \frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}=\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$
因此，
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{\theta}{360^{\circ}}-\frac{2 \theta}{360^{\circ}})$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{1}{2}-\frac{3 \theta}{360^{\circ}})$
$=\pi(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120})$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120})$
證畢。
54 次瀏覽
