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法律研究一棵樹因暴風雨而斷裂，斷裂的部分彎曲，使得樹頂觸地，與地面成 \( 30^{\circ} \) 角。樹根到樹頂觸地處之間的距離為 10 米。求這棵樹的高度。
已知
一棵樹因暴風雨而斷裂，斷裂的部分彎曲，使得樹頂觸地，與地面成 \( 30^{\circ} \) 角。
樹根到樹頂觸地處之間的距離為 \( 10 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出這棵樹的高度。
解：
設 $AB$ 為樹的原始高度，$CD$ 為斷裂部分，且觸地於 $D$ 點。
設點 $D$ 為斷裂樹枝頂端觸地處。
從圖中，
$\mathrm{AD}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=30^{\circ}$
設樹斷裂處到地面的高度為 $\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$，斷裂部分的高度為 $\mathrm{DC}=y \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{x}{10}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{10}$
$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt3} \mathrm{~m}$........(i)
類似地，
$\cos \theta=\frac{\text { 鄰邊 }}{\text { 斜邊 }}$
$=\frac{\text { DA }}{CD}$
$\Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{10}{y}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{10}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{10(2)}{\sqrt3}=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
因此，
$x+y=\frac{10}{\sqrt3}+\frac{20}{\sqrt3}$
$=\frac{10+20}{\sqrt3}$
$=\frac{30}{\sqrt3}$
$=\frac{30\sqrt3}{\sqrt3 \times \sqrt3}$
$=\frac{30\sqrt3}{3}$
$=10\sqrt3=10(1.73)=17.3 \mathrm{~m}$
因此，樹的高度為 $17.3 \mathrm{~m}$.
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