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法律研究一棵樹因暴風雨而斷裂，斷裂的部分彎曲，使得樹頂觸地，與地面成$30^o$角。樹根到樹頂觸地點的距離為$8\ m$。求樹的高度。
已知
一棵樹因暴風雨而斷裂，斷裂的部分彎曲，使得樹頂觸地，與地面成\( 30^{\circ} \)角。
樹根到樹頂觸地點的距離為\( 8 \mathrm{~m} \)。
要求
我們需要求出樹的高度。
解：
設$AB$為樹的原始高度，$CD$為斷裂部分，樹頂觸地點為$D$。
設點$D$為斷裂樹枝頂端觸地點。
根據圖示，
$\mathrm{AD}=8 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=30^{\circ}$
設樹斷裂處到地面的高度為$\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$，斷裂部分的高度為$\mathrm{DC}=y \mathrm{~m}$。
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{x}{8}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{8}$
$\Rightarrow x=\frac{8}{\sqrt3} \mathrm{~m}$........(i)
類似地，
$\cos \theta=\frac{\text { 鄰邊 }}{\text { 斜邊 }}$
$=\frac{\text { DA }}{CD}$
$\Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{8}{y}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{8}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{8(2)}{\sqrt3}=\frac{16}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
因此，
$x+y=\frac{8}{\sqrt3}+\frac{16}{\sqrt3}$
$=\frac{8+16}{\sqrt3}$
$=\frac{24}{\sqrt3}$
$=\frac{24\sqrt3}{\sqrt3 \times \sqrt3}$
$=\frac{24\sqrt3}{3}$
$=8\sqrt3 \mathrm{~m}$
因此，樹的高度為 $8\sqrt3 \mathrm{~m}$.
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