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法學對於以下每個例子，求一個二次多項式，其零點的和與積分別如給定值。也透過因式分解求出這些多項式的零點。
\( \frac{-8}{3}, \frac{4}{3} \)
待辦事項
這裡，我們需要找到零點之和與積分別如給定值的二次多項式。
解答
(i) 多項式零點之和$=-\frac{8}{3}$。
多項式零點之積$=\frac{4}{3}$。
根據給定的零點之和與積，可以得到一個二次多項式
$f(x) = x^2 -( \text { 零點之和 }) x + ( \text { 零點之積 })$
因此，
所需的多項式 f(x) 為：
$x^2- (-\frac{8}{3})x + (\frac{4}{3})$
$=x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$
為了求出 f(x) 的零點，我們令 $f(x) = 0$。
這意味著：
$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$
兩邊乘以 3，得到：
$3(x^2) + 3(\frac{8}{3})x + 3(\frac{4}{3})= 0$
$3x^2+8x+4=0$
$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 0$
$3x(x + 2) + 2(x + 2) = 0$
$(x + 2) (3x + 2) = 0$
$(x + 2) = 0$ 和 $(3x + 2) = 0$
$x=-2$ 和 $x=-\frac{2}{3}$
因此，該二次多項式的兩個零點是 $-2$ 和 $-\frac{2}{3}$。
(ii) 多項式零點之和$=\frac{21}{8}$。
多項式零點之積$=\frac{5}{16}$。
根據給定的零點之和與積，可以得到一個二次多項式
$f(x) = x^2 -( \text { 零點之和 }) x + ( \text { 零點之積 })$
因此，
所需的多項式 f(x) 為：
$x^2- (\frac{21}{8})x + (\frac{5}{16})$
$=x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}$
為了求出 f(x) 的零點，我們令 $f(x) = 0$。
這意味著：
$x^2 -\frac{21}{8}x + \frac{5}{16} = 0$
兩邊乘以 16，得到：
$16(x^2) -16(\frac{21}{8})x + 16(\frac{5}{16})= 0$
$16x^2-42x+5=0$
$16x^2 -40x - 2x + 5 = 0$
$8x(2x - 5) - 1(2x -5) = 0$
$(2x - 5) (8x-1) = 0$
$(2x -5) = 0$ 和 $(8x -1) = 0$
$x=\frac{5}{2}$ 和 $x=\frac{1}{8}$
因此，該二次多項式的兩個零點是 $\frac{5}{2}$ 和 $\frac{1}{8}$。
(iii) 多項式零點之和$=-2\sqrt{3}$。
多項式零點之積$=-9$。
根據給定的零點之和與積，可以得到一個二次多項式
$f(x) = x^2 -( \text { 零點之和 }) x + ( \text { 零點之積 })$
因此，
所需的多項式 f(x) 為：
$x^2- (-2\sqrt{3})x + (-9)$
$=x^2 +2\sqrt{3}x -9$
為了求出 f(x) 的零點，我們令 $f(x) = 0$。
這意味著：
$x^2 +2 \sqrt{3}x -9 = 0$
$x^2 +3\sqrt{3} x -\sqrt{3}x -9 = 0$
$x(x + 3\sqrt{3}) -\sqrt{3}(x +3\sqrt{3}) = 0$
$(x + 3\sqrt{3}) (x -\sqrt{3}) = 0$
$(x + 3\sqrt{3}) = 0$ 和 $(x -\sqrt{3}) = 0$
$x=-3\sqrt{3}$ 和 $x=\sqrt{3}$
因此，該二次多項式的兩個零點是 $-3\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$。
(iv) 多項式零點之和$=-\frac{3}{2\sqrt5}$。
多項式零點之積$=-\frac{1}{2}$。
根據給定的零點之和與積，可以得到一個二次多項式
$f(x) = x^2 -( \text { 零點之和 }) x + ( \text { 零點之積 })$
因此，
所需的多項式 f(x) 為：
$x^2- (-\frac{3}{2\sqrt5})x + (-\frac{1}{2})$
$=x^2 + \frac{3}{2\sqrt5}x - \frac{1}{2}$
為了求出 f(x) 的零點，我們令 $f(x) = 0$。
這意味著：
$x^2 + \frac{3}{2\sqrt5}x - \frac{1}{2} = 0$
兩邊乘以 $2\sqrt5$，得到：
$2\sqrt5(x^2) +2\sqrt5(\frac{3}{2\sqrt5})x - 2\sqrt5(\frac{1}{2})= 0$
$2\sqrt5x^2+3x-\sqrt5=0$
$2\sqrt5x^2 + 5x - 2x -\sqrt5= 0$
$\sqrt5x(2x + \sqrt5) -1(2x +\sqrt5) = 0$
$(2x +\sqrt5) (\sqrt5x - 1) = 0$
$(2x +\sqrt5) = 0$ 和 $(\sqrt5x - 1) = 0$
$2x=-\sqrt5$ 和 $\sqrt5x=1$
$x=\frac{-\sqrt5}{2}$ 和 $x=\frac{1}{\sqrt5}$
因此，該二次多項式的兩個零點是 $\frac{-\sqrt5}{2}$ 和 $\frac{1}{\sqrt5}$。
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