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法學因式分解表示式 $x^8-1$。
已知
給定的代數表示式為 $x^8-1$。
待求
我們需要因式分解表示式 $x^8-1$。
解答
因式分解代數表示式
因式分解代數表示式是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當代數表示式寫成質因數的乘積時，該表示式已被完全因式分解。
$x^8-1$ 可寫成，
$x^8-1=(x^4)^2-(1)^2$
此處，我們可以觀察到給定的表示式是兩個平方的差值。因此，透過使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以因式分解給定的表示式。
因此，
$x^8-1=(x^4)^2-(1)^2$
$x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)$
現在，
$(x^4-1)$ 可以寫成，
$(x^4-1)=(x^2)^2-(1)^2$ [因為 $1=1^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以因式分解 $(x^2)^2-(1)^2$。
$(x^2-1^2)^2=(x^2+1)(x^2-1)$.............(I)
$(x^2-1)$ 可以寫成，
$(x^2-1)=(x)^2-(1)^2$ [因為 $1=1^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以因式分解 $(x)^2-(1)^2$
$x^2-1^2=(x+1)(x-1)$..................(II)
因此，使用 (I) 和 (II)，我們得到，
$x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$。
更新於: 2023-04-07
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