布拉格定律 - 定義、推導、公式、應用

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簡介

布拉格定律是原子和分子物理學中的一個重要概念。您已經知道原子是構成這個宇宙的基本單元。它們是宇宙中每一塊物質的基礎。但這並不是我們對微觀世界瞭解的全部。事實上，我們甚至設法將原子分解成電子、質子和中子。如果這還不足以滿足您的好奇心，您應該知道我們甚至瞭解“構成”電子和核子的東西。但我不再贅述了。

現在，讓我們討論一下原子的排列方式。在材料內部，原子或分子駐留在特定位置，並且最常見的是，在其排列中具有一定的週期性。此外，不同的材料具有不同的原子排列。

為了研究這些原子的位置，我們將晶體建模為一組離散的平行平面，原子駐留在這些平面上。這些平面應該是等距的。根據平行平面對晶體進行建模，使我們能夠對晶體進行X 射線衍射研究。這些研究基於布拉格定律。讓我們詳細討論一下。

布拉格定律？

在下圖中，檢視兩個平行平面，它們之間距離為 d，波長為 λ的 X 射線輻射以角度 θ入射。

布拉格定律指出，從晶體中平行平面反射的波觀察到的衍射圖樣將在滿足以下條件時達到最大值：

$$\mathrm{2d\:sin\:θ =n\lambda}$$

這是一個非常簡單但功能強大的方程，它構成了大量晶體學研究的基礎。請注意，由於晶面間距(d)的數量級為幾個埃，因此最適合晶體學研究的波長位於X 射線區域。

布拉格方程

布拉格方程指的是布拉格定律的數學表述。它最常見的形式寫成如下：

$$\mathrm{2d\:sin\:θ =n\lambda}$$

這裡，d 是晶面間距，θ 是入射角，λ 是入射輻射的波長。最後，n 是一個正整數，對應於衍射級數。

布拉格定律的另一種表述是用倒格子向量 G 和入射波矢 k 表示，如下所示：

$$\mathrm{2 k.G+G^2= 0}$$

以上兩個表述是相同的，但第二個是在倒空間中定義的。

布拉格定律的推導

布拉格定律可以用光學的非常簡單的規則推匯出來。請檢視下面的圖表：

在這個圖中，我們繪製了三個垂線，如下所示：

• OC 垂直於上面顯示的兩個平面。

• BC 垂直於入射光線。

• CA 垂直於反射光線。

從幾何學上，我們可以證明$\mathrm{\angle BCO = \theta}$。現在，使用三角函式：

$$\mathrm{sin θ =\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BO}{CO}}$$

由於 CO = d，我們有：

$$\mathrm{dsin\:\theta =BO}$$

此外，ΔCBO 和 ΔCAO 可以證明是全等的，因為它們共享一個公共斜邊並具有兩組相等的角。因此，BO = AO。光線 1 和 2 之間的光程差由BO + AO給出。也就是說，光程差$\mathrm{\delta}$為：

$$\mathrm{\delta=2BO=2d\:sin\:\theta}$$

為了使最大值發生，光程差必須是波長的整數倍。因此，我們得到布拉格條件如下：

$$\mathrm{2d\:sin\:\theta =n\lambda}$$

布拉格定律的應用

布拉格定律在晶體學領域有著廣泛的應用。請看：

• 勞厄法、粉末晶體法和旋轉晶體法等 X 射線衍射研究都基於布拉格定律。

• X 射線熒光光譜法基於布拉格定律的概念。

布拉格定律的重要性

術語布拉格衍射用於指當電磁輻射（基本上是光）從晶體學平面反射時觀察到的衍射現象。只有當輻射的波長與晶面間距相當（發生在 X 射線區域）時，才會發生衍射。

布拉格衍射在非常特定的引數集中觀察到。為了進行衍射研究，我們需要最大限度地提高這些引數滿足的可能性。這是透過採用某些方法（如勞厄法、旋轉晶體法等）來實現的。

示例

Q1：如果晶面間距為 2.014 埃，則計算二階衍射的角度，給定波長為 1.544 埃。

答：布拉格定律給出$\mathrm{2d\:sin\:sin \:\theta =n\lambda}$

求解 theta

$$\mathrm{\theta=\frac{n\lambda}{2d}=\frac{2\times 1.544\times 10^{−10}}{2\times2.014\times 10^{−10}}=0.766666 =50.05^{\circ}}$$

Q2：給定一個晶面間距為 3.03 埃的晶體，求第一衍射極大的入射角。在這種情況下，入射中子束的能量為 0.1 eV。$\mathrm{(中子質量 = 1.67\times\:10^{−27}\:kg)}$。

答：第一步是根據給定的能量計算波長。我們使用德布羅意公式。

$$\mathrm{\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mqE}}=\frac{6.626\times 10^{−34}}{\sqrt{2×1.67\times 10^{−27}\times 1.6\times10^{−19}\times0.1}}=9.06\times 10^{−11}m}$$

接下來，我們使用布拉格定律來求解 θ

$$\mathrm{2d\:sin\:sin\:\theta =n\lambda}$$

$$\mathrm{\theta=\frac{n\lambda}{2d}=\frac{9.06\times 10^{−11}}{2\times 3.03\times 10^{−10}}=0.1495 =8.59^{\circ}}$$

因此，入射角必須為$\mathrm{8.59^{\circ}}$

結論

X 射線衍射是表徵固體晶體的重要技術。這些衍射研究基於布拉格定律，該定律將晶體建模為一組離散的平行平面，然後推匯出晶面間距、入射角和入射輻射波長之間的關係。

假設晶面間距由 d 表示，入射角由 θ 表示，入射輻射的波長由 λ 表示。然後布拉格定律指出，只有當滿足以下條件時，才會觀察到衍射的最大值：

$$\mathrm{2d\:sin\:\theta =n\lambda}$$

布拉格定律的推導涉及幾何光學的簡單定律。布拉格衍射（指由於電磁輻射被晶體平面反射而觀察到的衍射）用於晶體的 X 射線衍射和 X 射線熒光光譜法。

常見問題

Q1. 所有晶體是否都允許所有晶面發生衍射？

答：否。不同型別的晶體具有不同的原子排列方式。因此，在一個型別的晶體中允許衍射的平面可能在其他晶體中不會發生衍射。例如，面心晶體僅當所涉及平面的米勒指數全部為奇數或全部為偶數時才會顯示衍射。

Q2. 布拉格定律中觀察到哪種散射？

答：這裡觀察到瑞利散射，因為波長沒有發生變化。

Q3. 單個晶體是否可以具有多個晶面間距值？

答：是的。晶體中存在不同的平行平面組。這些平面以它們的米勒指數 h、k 和 l 為特徵。晶面間距的值取決於米勒指數。

Q4. 典型的 X 射線衍射光譜是什麼樣的？

答：X 射線衍射光譜繪製在以強度作為 2θ 函式的圖上。通常，它在 θ 的特定值處顯示幾個峰，其餘區域幾乎是平坦的且為零。

Q5. 為什麼 XRD 光譜以 2θ 而不是 θ 為單位繪製？

答：這與晶體衍射方法的設計方式有關。衍射的結果透過放置在晶體周圍的探測器觀察到。通常，衍射光束位於 2θ 角的圓錐體上。因此，XRD 光譜以 2θ 為單位繪製。

Q6. 為什麼在晶體衍射中使用 X 射線？

答：大多數晶體的晶面間距的數量級與 X 射線的波長相似。如果波長與晶面間距有很大差異，則光將穿過晶體而不會發生衍射。因此，使用 X 射線。