玻爾半徑 - 定義和推導

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引言

玻爾原子模型是原子結構研究領域的一項重大突破。原子是所有物質的基本單位。根據玻爾原子模型，原子包含一個小的中心核心，稱為原子核，充滿了正電荷。電子圍繞原子核在稱為軌道的特定圓圈中執行。

Sharon Bewick, 玻爾模型, CC BY-SA 3.0

圓形路徑由電子和原子核之間靜電力產生的向心力維持。

原子模型

為了解釋原子的結構，人們開發了多種模型。這些模型是由約翰·道爾頓、J.J.湯姆遜、歐內斯特·盧瑟福、尼爾斯·玻爾和埃爾溫·薛定諤提出的。

道爾頓原子模型

根據道爾頓的理論，所有物質都由稱為原子的微小粒子組成。元素中的所有原子看起來都一樣。不同元素的原子具有不同的性質。但他未能解釋原子的結構。

湯姆遜原子模型

J.J.湯姆遜是第一個解釋原子精細結構的人。他提出原子是像雲一樣散佈的帶正電的粒子。根據這種說法，帶負電的電子散佈在一個帶正電的雲中，看起來像西瓜或布丁裡的李子。這就是為什麼它被稱為**李子布丁模型**。由於無法得到實驗支援，該模型也失敗了。

盧瑟福原子模型

歐內斯特·盧瑟福進行了**α散射**實驗來提出他的原子模型。他注意到大多數α粒子穿過了金箔。少數粒子發生輕微偏轉。極少數粒子沿相同路徑反彈。因此，他透過實驗提出，中心存在一個帶正電的原子核。它的質量遠小於原子。電子圍繞原子核作圓周運動。但它**無法**解釋**原子的穩定性**。

玻爾原子模型

尼爾斯·玻爾克服了盧瑟福原子模型的缺點。根據他的實驗結果，他得出結論：原子包含一個帶正電粒子的原子核。由於電子和質子之間的吸引力，電子在圓形軌道上圍繞原子核旋轉。它在具有特定能量的特定軌道上旋轉。在旋轉過程中，它不會損失或獲得能量。但當電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時，它會發射能量。他利用了量子化的概念。要充分了解**玻爾半徑**，有必要了解玻爾原子模型和普朗克量子理論。

普朗克量子理論

該理論解釋了輻射的發射和吸收以及電子的波動性。根據該理論，當電子在能級之間躍遷時，它會以能量量子（稱為光子）的形式發射能量。這種能量與輻射頻率成正比。

$$\mathrm{E\:\propto\:v}$$

$$\mathrm{E = hv}$$

h=普朗克常數 $\mathrm{=6.626×10^{−34}\:J. sec}$

玻爾原子模型的假設

玻爾的假設基於普朗克量子理論。根據該理論，電子圍繞原子核在具有確定能量的確定軌道上旋轉，並且具有確定的量子數。當電子在軌道之間躍遷時，它們會發射能量量子，這由普朗克方程給出。由於電子在具有固定角動量的軌道上運動，因此角動量是量子化的。

$$\mathrm{mvr =\frac{nh}{2\pi}\:\:\:\:\:n = 1, 2, 3, ……}$$

什麼是玻爾半徑？

根據玻爾的理論，原子的半徑是原子核和原子最外層電子殼層之間的距離。準確地說，它是氫原子基態下原子核和電子之間的距離。尼爾斯·玻爾推匯出的玻爾半徑公式為

$$\mathrm{a_0=(\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi me^2})n^2}$$

玻爾半徑公式

讓我們考慮一個質量為m、電荷為e的電子圍繞有效電荷為$\mathrm{Ze^+}$的原子核運動。假設電子以速度v在半徑為$\mathrm{a_0}$的軌道上圍繞原子核運動。根據庫侖定律，帶電粒子之間存在吸引力，其表示式為

$$\mathrm{F=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 a_0^2}}$$

現在應用於靜電力：

$$\mathrm{F =\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 a_0^2}\:\:\:\:\:………. (1)}$$

電子由於向心力$\mathrm{(F_c)}$而在圓形軌道上運動。

$$\mathrm{F_c =\frac{mv^2}{a_0}………. (2)}$$

比較方程（1）和（2），我們得到：

$$\mathrm{\frac{mv^2}{a_0}=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 a_0^2}}$$

$$\mathrm{mv^2=\frac{Ze^2 \:a_0}{4\pi\epsilon_0 a_0^2}}$$

$$\mathrm{mv^2=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 a_0}\:\:\:………. (3)}$$

由此我們得到：

$$\mathrm{a_0=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 mv^2}}$$

這個方程表明電子的半徑與速度成反比，這意味著快速運動的電子在較低的軌道上。根據玻爾的假設，角動量由下式給出：

$$\mathrm{mva_0=\frac{nh}{2\pi}}$$

$$\mathrm{v=\frac{nh}{2\pi ma_0}}$$

將該方程平方：

$$\mathrm{v^2=\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 a_0^2}\:\:\:…………. (5)}$$

將方程（5）代入方程（4），我們得到：

$$\mathrm{a_0=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m(\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 a_0^2})}}$$

$$\mathrm{a_0=\frac{Ze^24\pi^2 m^2 a_0^2}{4\pi\epsilon_0 mn^2 h^2}}$$

$$\mathrm{a_0=\frac{Ze^2 \pi ma_0^2}{\epsilon_0 n^2 h^2}}$$

$$\mathrm{a_0=\frac{\epsilon_0 n^2 h^2}{Ze^2 \pi m}}$$

對於氫原子，Z=1。因此

$$\mathrm{a_0=\frac{\epsilon_0 n^2 h^2}{e^2 \pi m}}$$

$$\mathrm{a_0=(\frac{\epsilon_0 h^2}{e^2 \pi m})n^2}$$

這裡$\mathrm{\frac{\epsilon_0 h^2}{e^2 \pi m}}$是一個常數。

因此，玻爾半徑與軌道數的平方成正比。透過代入常數項的值

$$\mathrm{\frac{\epsilon_0 h^2}{e^2 \pi m}= 0.529\:Å}$$

因此

$$\mathrm{a_0=0.529Å\:n^2}$$

玻爾半徑的應用和用途

雖然它有一些應用，例如玻爾半徑用於計算一些物理量，如原子單位和精細結構常數等。

結論

原子是物質的基本單位。原子的結構在許多時期都被許多科學家提出。本文討論了尼爾斯·玻爾提出的模型，並在此討論了玻爾半徑。本文詳細推導了玻爾半徑的公式。

常見問題

Q1. 靜電吸引是什麼意思？

A1. 它是原子帶電粒子之間發生的無接觸的吸引或排斥力。

Q2. 盧瑟福是如何進行散射實驗的？

A2. 將金金屬拉成厚度為100nm的薄箔，並用α粒子轟擊。散射的α粒子收集在圓形螢幕上。

Q3. 玻爾原子模型的侷限性是什麼？

A3. 玻爾原子模型無法解釋塞曼效應和斯塔克效應，也無法解釋海森堡測不準原理。這些都是玻爾原子模型的侷限性。

Q4. 什麼是海森堡測不準原理？

A4. 海森堡測不準原理描述的是不可能同時找到電子的位置和動量。

Q5. 玻爾半徑與量子數之間有什麼關係？

A5. 玻爾半徑與量子數成正比。隨著量子數的增加，玻爾半徑也增加。