扭轉方程的推導

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介紹

在固體力學領域，透過施加扭矩來扭曲材料的過程被稱為扭轉方程或扭轉常數。扭轉可以用多種方式表示，例如帕斯卡 (Pa)、牛頓米 (Nm) 或英尺磅力 (ft·lbf)。扭轉常數的 SI 單位是牛頓每平方米 (N/m²) 或磅每平方英寸 (psi)。

對於非圓形截面，在發生扭曲的同時也會發生翹曲變形。在翹曲過程中，橫截面變得不規則。扭轉方程也稱為扭轉常數。在純扭轉方程的推導中，必須遵循胡克定律以及其他條件。

對於圓形截面，必須保持其圓形形狀。此處，顆粒的應力永不超過其彈性極限。橫截面的面積必須保持平面。

什麼是扭轉？

圖1：扭轉

在固體力學中，扭轉是指由於施加扭矩而導致特定物體扭曲的特性。扭轉可以用帕斯卡 (Pa) 或牛頓每平方米 (N/m²) 的 SI 單位來描述，也可以用磅每平方英寸 (psi) 來表示。

然而，與之相反的是，扭矩用牛頓米 (Nm) 或英尺磅力表示。給定物體中的某些截面垂直於作用扭矩軸。在這些特定位置，合剪應力垂直於半徑。在形狀不規則的橫截面中，會發生扭曲以及翹曲變形；這種特殊的變形稱為翹曲。在翹曲處，橫截面粗糙。

扭轉常數

扭轉常數與杆橫截面的幾何特性有關，該特性與通過杆軸的施加扭矩以及由扭轉形成的角度有關。所有這些特定理論都與均勻的塑性杆有關。正如 Atavin 等人 (2018) 所述，杆的抗扭剛度由扭轉常數決定，該常數與物體的不同特性（例如長度）相結合。扭轉常數的 SI 單位用 m⁴ 表示。

扭轉方程推導

圖2：圓形軸的扭轉方程

考慮一個具有指定半徑 R 的實心圓形軸，它與作用在其兩端相同扭矩 T 的扭矩相關 (hkdivedi，2022)。

$\mathrm{半徑角度=\frac{弧長}{半徑}}$

$\mathrm{弧長 AB = R\theta = L\gamma }$

$\mathrm{\gamma =\frac{R\theta }{L}}$

此處，與圓形軸相關的兩個不同的固定點為 A 和 B

並且，γ 是 AB 形成的角度

剛度模量用 $\mathrm{G=\frac{\tau }{\gamma } }$ 表示

此處，剪應力用 𝜏 表示，剪應變用 γ 表示

$\mathrm{\frac{\tau }{G}=\Gamma }$

因此可以確定 $\mathrm{\frac{R\theta }{L}=\frac{\tau }{G} }$

考慮一個半徑為 r、厚度為 dr 的小條帶，它承受剪應力。

$\mathrm{\Gamma'*2\pi rdr}$

此處，r 是小條帶的半徑

條帶的厚度用 dr 表示

剪應力為 γ

軸中心的扭矩 $\mathrm{2\pi\, \Gamma'\, r^{2}dr}$

$\mathrm{T=\int_{0}^{R}2\pi\, \Gamma'\, r^{2}dr}$

$\mathrm{T=\int_{0}^{R}2\pi\, \frac{G\theta }{L}\, r^{3}dr}$

$\mathrm{T=\frac{2\pi\,G\theta }{L}\int_{0}^{R}r^{3}dr=\frac{G\theta }{L}\left [ \frac{\pi d^{4}}{32} \right ]}$

代入並積分 R 的值

$\mathrm{\frac{G\theta }{L}J}$

因此，對極慣性矩進行代換得到：

$\mathrm{\frac{T }{J}=\frac{\tau }{r}=\frac{G\theta }{L}}$

扭轉方程的假設

• 材料具有彈性 (Engineeringtoolbox，2022)。

• 物體需要遵守胡克定律

• 剪應力必須與剪應變成比例

• 橫截面的面積需要是平面的。

• 圓形截面需要保持圓形

• 材料的直徑需要旋轉一定角度

• 材料中存在的應力不應高於彈性極限

這些是材料為了獲得所需結果而需要遵循的假設。

結論

扭轉方程主要遵循胡克定律，貫穿其整個推導過程。此處使用的材料本質上是均勻的，這意味著它們具有彈性。為了推匯出正確的扭轉方程，可以遵循的主要假設之一是，顆粒中的剪應力必須與剪應變成比例。此處的一些截面垂直於扭矩軸。合剪應力也垂直於半徑。關於軸中的剪應力，可以提到，如果軸承受扭矩和扭曲，則會形成剪應力。

常見問題

Q1. 扭轉常數是什麼意思？

A1. 扭轉常數是指與杆軸相關的橫截面杆的幾何特性。在這種情況下，施加的扭矩和扭曲角之間存在聯絡，其 SI 單位為：m⁴。

Q2. 扭矩的概念是什麼？

A2. 在力學中，扭矩是指在旋轉運動中產生的力。扭矩也稱為旋轉力、力矩和轉動效應。

Q3. 扭轉方程推導的假設是什麼？

A3. 扭轉方程推導的假設包括：它在整個方程推導過程中遵循胡克定律。扭轉中使用的材料必須具有與剪應變成比例的剪應力。圓形截面必須保持圓形，並且材料的應力不得超過彈性極限。

Q4. 扭轉是什麼意思？

A4. 透過施加任何特定力來扭曲和扭轉物體被稱為扭轉。扭曲的狀態和扭曲的性質是扭轉的兩個最重要的部分。