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法學麥克斯韋-玻爾茲曼分佈推導
引言
在熱力學和統計力學中，我們經常研究容器內的氣體分子。在這種情況下，不可能單獨研究每個分子。事實上，即使在一毫升的氣體中，也有幾乎無數的氣體分子。因此，我們不研究單個分子，而是將其作為一個系統來研究。
當我們處理系統時，我們會透過選擇一定範圍的速度並試圖找出以該速度運動的分子數量來描述它們。這就是麥克斯韋-玻爾茲曼分佈派上用場的地方。
什麼是宏觀態？
要理解這個術語，你應該理解什麼是宏觀性質。宏觀性質是系統可以用肉眼看到和觀察到的性質。例如，系統的溫度、壓力和體積是宏觀變數。
因此，宏觀態是指在這些性質的背景下系統的狀態。例如，說一個系統處於300K的溫度，這是一個關於其宏觀態的陳述。系統如何達到這個溫度，或者內部各個分子的溫度是多少，這並不重要。系統本身處於300K，就是這樣。
在統計力學中，宏觀態是一組能量值、粒子數和體積值，這些值表徵了一個系統。
另一個例子是拋硬幣兩次。你可能有以下結果：
正面-正面
正面-反面
反面-正面
反面-反面
人們可以說一個正面和一個反面是一個宏觀態。硬幣在什麼時候落在正面，什麼時候落在反面並不重要；重要的是有一個正面和一個反面。
什麼是微觀態？
與宏觀態相反，微觀態是指系統根據其微觀性質是如何組織的。例如，要獲得一瓶300K的水，你可以將等量的290K的熱水和310K的冷水混合在一起。或者你可以將不同數量的不同溫度的水混合在一起以獲得相同的結果。達到特定宏觀態的不同方法中的每一種都稱為微觀態。
在拋硬幣兩次的例子中，一個正面和一個反面是一個宏觀態，其特徵是兩種可能的微觀態：H-T或T-H。在統計力學中，微觀態是特定系統達到特定宏觀態的許多可能方式之一。
麥克斯韋-玻爾茲曼分佈定律
當你拿一個裝滿任何氣體的容器時，氣體分子在容器內並不是靜止的。相反，它們在不同的方向上以不同的速度隨機移動。事實上，正是這種運動導致了氣體的壓力。由於不可能描述每個粒子的確切速度，我們使用所謂的麥克斯韋-玻爾茲曼分佈定律。
簡單地說，該定律描述了速度在v到v+dv範圍內的粒子的分數。數學上，該定律表示為：
$$\mathrm{F\:(v)\:d^{3}v\:=\:(\frac{m}{2\Pi\:KT})^{3/2}\:e^{-\:\frac{mv^{2}}{2KT}}\:d^{3}\:v}$$
這裡，𝑓(𝑣)𝑑³𝑣表示速度在v到v+dv範圍內的粒子分數。
麥克斯韋分佈定律的推導
考慮一個體積為V的容器中含有n個粒子的系統。設可能的能級由𝜖₁, 𝜖₂, … , 𝜖ᵣ表示。具有能量𝜖ᵢ的粒子數用𝑛ᵢ表示。
然後，達到特定微觀態的方式數量使用以下公式給出：
$$\mathrm{W\:=\:\frac{n!}{n_{1}!\times\:n_{2}!\times\:n_{3}!.......\:n_{r}!}}$$
這個公式可能難以使用，我們取它的自然對數來去除分數。此外，我們應用斯特林近似。然後，
$$\mathrm{ln\:ln\:W\:=\:ln\:ln\:n!\:-\:ln\:ln\:({n_{1}!\times\:n_{2}!\times\:n_{3}!.......\:n_{r}!})\:ln\:ln\:(n!)\:=\:n\:ln\:ln\:(n)-\:n\:ln\:ln\:W\:=\:n\:ln\:ln\:(n)\:-\:n\:-\:\displaystyle\sum\limits_{i=0}^r (n_{1}\:ln\:ln\:(n)\:-\:n_{i}}$$
我們需要最大化W的值。為此，我們對上述等式求微分並將其設為零。由於n是常數，我們得到：
$\mathrm{\partial\:ln\:ln\:W\:=\:-\:\displaystyle\sum\limits_{i=0}^r (\partial\:n_{i}\:ln\:ln\:(n_{i}))+n_{i}\times\:\frac{1}{n_{i}}\:-\:\partial\:n_{i}\:=\:0}$ 因此，$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^r (\partial\:n_{i}\:ln\:ln\:(n_{i}))\:=\:0}$
現在，當n為常數時，和$\mathrm{\displaystyle\sum\limits^r\:n_{i}\:=\:n}$ 因此，
$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i}^r\partial\:n_{i}\:=\:0}$$
此外，由於總能量是常數，
$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i}^r\varepsilon\:_{i}\partial\:n_{i}\:=\:0}$$
我們現在使用拉格朗日未定乘子法得到
$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i}^r(Ln\:ln\:n_{i}\:+\:\alpha\:+\:\beta\:\varepsilon\:_{i})\:\partial\:n_{i}\:=\:0}$$
為了使上述等式成立，括號中的項必須分別為零。這隻在以下情況下成立：
$$\mathrm{n_{i}\:=\:e^{-\alpha}\:\times\:e^{-\beta\:\varepsilon_{i}}}$$
這與上面給出的麥克斯韋-玻爾茲曼分佈的形式相似，因為能量與速度的平方成正比。常數的值是一個較長的推導，無法在一篇文章中容納。
應用
計算平均速度、最可能速度和均方根速度。
利用麥克斯韋-玻爾茲曼分佈，可以推匯出粒子的平均速度、分子最有可能具有的速度以及分子的均方根速度的值。這些是描述系統的重要引數。
計算能量
與系統相關的平均能量以及每個粒子的平均能量可以從我們推匯出的分佈函式中計算出來。事實上，結果與透過其他方法進行的推導非常吻合。
結論
系統的宏觀態是指其根據宏觀性質（如溫度和壓力等）的配置。從統計學上講，它是一組能量、粒子數和系統的體積。
麥克斯韋-玻爾茲曼分佈可以給出速度在v到v+dv範圍內的分子分數。它是由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在啟發式基礎上給出的，而玻爾茲曼後來研究了它的物理解釋。分佈函式如下：
$$\mathrm{F\:(v)\:d^{3}v\:=\:(\frac{m}{2\Pi\:KT})^{3/2}\:e^{-\:\frac{mv^{2}}{2KT}}\:d^{3}\:v}$$
常見問題
1. 我見過麥克斯韋分佈定律、麥克斯韋-玻爾茲曼分佈、麥克斯韋分佈等多個名稱。它們是相同的，還是隻有一個特定的名稱是正確的？
所有這些術語都指同一定律：麥克斯韋-玻爾茲曼分佈定律。使用一個特定的名稱而不是另一個名稱沒有任何懲罰。由於玻爾茲曼也對這個定律做出了重大貢獻，所以它最常被稱為完整名稱。
2. 麥克斯韋分佈能否用速度以外的引數表示？
是的。氣體分子的速度決定了它的能量和壓力。有時，分佈函式是用能量而不是速度表示的。這不會改變定律的性質。
3. 麥克斯韋分佈在量子力學上是否有效？
只有當量子效應不顯著時，麥克斯韋-玻爾茲曼分佈才成立。
4. 推導麥克斯韋分佈有多種方法嗎？
是的。沒有推導該定律的嚴格證明。有多種方法可以推匯出它，每種方法都有其自身的優點和缺點。人們甚至可以不談論微觀態和宏觀態就推匯出它。
5. 麥克斯韋分佈的圖形是什麼樣的？
該圖在一個特定值處有一個峰值，而在該值的任一側則衰減。該圖隨溫度而變化。
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