玻爾茲曼常數 - 定義、公式、數值和應用

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介紹

玻爾茲曼常數用字母 $\mathrm{k_B}$ 表示。物理學中某些物理量隨時間保持不變，是普適常數。這些被稱為基本物理常數。例如，光速 (c)、普朗克常數 $\mathrm{(\hslash)}$、玻爾茲曼常數 $\mathrm{(k_B)}$ 就是這樣的量。玻爾茲曼常數首次出現在統計物理學中。然而，它的重要性並不侷限於該領域，如今它被廣泛應用於化學、熱力學等領域。玻爾茲曼常數以著名物理學家路德維希·玻爾茲曼命名。

他是一位奧地利物理學家。他最大的貢獻是發展了統計力學。他還從事其他領域的研究，例如氣體動力學理論和熱力學。玻爾茲曼常數作為分子動能與其溫度之間比例係數。

有趣的是，他著名的將熵與機率聯絡起來的方程式刻在他的維也納墓碑上。

玻爾茲曼常數值

玻爾茲曼常數在 SI 單位制中的值為 $\mathrm{1.38×10^{−23} JK^{−1}}$。

其維度為：

$$\mathrm{ [k_B]=[ML^2 T^{−2} K^{−1}]}$$

出於不同的目的，它以不同的單位表示。以下是一些示例：

• 如果能量以 $\mathrm{eV}$ 表示，則 $\mathrm{k_B=8.61×10^{−5} eVK^{−1}}$

• 在 CGS 單位制中：$\mathrm{k_B=1.38×10^{−16} ergK^{−1}}$

• 在原子計算中，對於哈特里能量 $\mathrm{ E_H :\:\:k_B=3.16×10^{−6} E_H K^{−1}}$

• 在熱噪聲計算中：$\mathrm{k_B=-228.5991672 dB(W/K/Hz)}$

什麼是玻爾茲曼常數

玻爾茲曼推匯出熱力學機率和熵之間的關係。

$$\mathrm{S=f(\Omega)}$$

他計算出此函式 $\mathrm{f(\Omega)}$ 對熵的依賴性。

最終，他得出：

$$\mathrm{f(\Omega)=kln\Omega+C}$$

這裡常數 k 對所有系統都相同。但玻爾茲曼本人無法說明常數 k 和 c 的意義和性質。

馬克斯·普朗克利用了在 T=0K 時，熵為零的事實。因此

$$\mathrm{S=0=kln\Omega+c}$$

這意味著在 T=0K 時，Ω=1，c 應取零。這導致了著名的方程 -

$$\mathrm{S=k_B\:ln\Omega}$$

其中 $\mathrm{k_B}$ 被確定為玻爾茲曼常數。此關係是統計力學中一個非常重要的結果，被稱為玻爾茲曼關係。

玻爾茲曼常數公式的意義

玻爾茲曼常數在物理學中起著非常重要的作用。以下是一些例子：

溫度的 SI 單位

玻爾茲曼常數用於定義開爾文，即溫度的 SI 單位。1K 定義為使 $\mathrm{k_B= 1.38× 10^{−23}\:J/K}$ 的溫度。

玻爾茲曼因子

在統計力學中，玻爾茲曼因子給出在溫度 T 下某種能態的佔據機率。在這個公式中，玻爾茲曼因子出現在指數內。

$$\mathrm{P\:\propto\:exp(\frac{-E}{k_B T})}$$

能量均分定理

能量均分定理說明了系統溫度與其平均能量之間的關係。它指出，每個自由度將對系統貢獻 $\mathrm{\frac{1}{2}\:k_B\:T}$ 的能量。在這裡我們可以看到玻爾茲曼常數的重要性。

宏觀量和微觀量之間的橋樑

玻爾茲曼常數作為宏觀量和微觀量之間的橋樑。正如我們在玻爾茲曼關係中看到的：

$$\mathrm{S =k_B lnΩ}$$

它作為宏觀量熵和微觀量熱力學機率之間的比例係數。

普朗克定律

玻爾茲曼常數也存在於普朗克黑體輻射定律中。

$$\mathrm{f_
u (T) = \frac{2
u^{2} h
u}{c^2(exp\lbrace\frac{hν}{k_B T}\rbrace -1)}}$$

這裡 ν = 頻率

$\mathrm{f_
u}$= 光譜輻射率

應用

玻爾茲曼常數可以應用於物理學的其他許多地方。以下是一些例子：

可以構成普朗克單位

使用四個基本常數——光速、普朗克常數、玻爾茲曼常數和萬有引力常數——我們可以計算普朗克溫度。

$$\mathrm{T_p=\sqrt{\frac{hc^5}{Gk^2B}}}$$

氣體方程轉換

理想氣體方程可以寫成：

$$\mathrm{PV = nRT,}$$

使用玻爾茲曼常數，我們可以用氣體分子數來表示它。由於氣體常數定義為 $\mathrm{R=k_B\:N_A}$，其中 $\mathrm{N_A}$ 是阿伏伽德羅常數。

因此

$$\mathrm{ PV=nk_B T }$$

熱電壓

我們還在二極體方程中使用它來定義熱電壓。

$$\mathrm{I_D=I_s\lbrace exp(\frac{eV_D}{nk_B T})\rbrace-1}$$

這裡 $\mathrm{\frac{e}{k_B T}}$ 稱為熱電壓，其在室溫下的值為 25.9mV

熱力學 β

玻爾茲曼常數和溫度的乘積定義了一個稱為 β 的量。

$$\mathrm{\beta=\frac{1}{k_B T}}$$

在統計力學中，它被認為比通常的熱力學溫度更基本的量。

熱噪聲

在電子器件中，熱噪聲功率由以下公式給出：

$$\mathrm{P=k_B T\Delta f}$$

在這裡和其他相關的公式（如 RMS 電流和電壓）中，玻爾茲曼常數作為比例常數出現。

結論

玻爾茲曼常數在物理學中起著重要的作用。它以著名物理學家路德維希·玻爾茲曼命名；然而，他並沒有計算出它的值。它將分子的平均能量與溫度聯絡起來。它的單位與熵相同。它可用於定義氣體常數、熱電壓、逆溫度等。

常見問題

Q1. 熵可以減少嗎？從玻爾茲曼公式給出推理。

A1. 熵的值由下式給出：

$$\mathrm{S = k_B lnΩ}$$

我們知道玻爾茲曼常數是一個正數，對數的值不能為負。因此

$$\mathrm{S\ge 0\:總是}$$

Q2. 具有 3 個自由度的系統的平均能量是多少？

A2. 根據能量均分定理：一個自由度貢獻 $\mathrm{\frac{1}{2}k_B T}$ 的能量。因此，由於三個自由度而產生的能量將是 $\mathrm{\frac{3}{2}k_B T}$

Q3. 如何測量玻爾茲曼常數？

A3. 到目前為止，玻爾茲曼常數已經透過多種方式測量。2018 年釋出了可接受的值。以下是測量玻爾茲曼常數的兩種最可靠的技術。

• 聲學測溫法：在這種方法中，物理學家利用聲速與溫度有關的事實。

• 介電常數氣體測溫法：在這種技術中，科學家利用介電常數和溫度之間的關係。

Q4. 計算 $\mathrm{T=20^{\circ}\:C}$ 時的熱電壓？

A4. 熱電壓由 $\mathrm{\frac{e}{k_B T}}$ 給出

這裡 $\mathrm{T=20^0 C=293K,k_B=1.38×10^{−23} JK^{−1}}$

因此，熱電壓 $\mathrm{=\frac{1.6×10^{−19}}{293 × 1.38 ×10^{−23}}=25.2mV}$

Q5. 給出玻爾茲曼常數在化學中應用的例子？

A5. 在化學中，溫度與化學反應速率之間的關係由阿累尼烏斯方程給出。

$$\mathrm{k = A\:exp(-\frac{E_A}{k_B T})}$$

其中 k = 速率常數，$\mathrm{E_A}$= 活化能