玻爾茲曼方程的應用
介紹
玻爾茲曼方程描述了流體與溫度的反應。當流體運動時,熱能和動量的物理量變化由玻爾茲曼方程計算。該方程也稱為玻爾茲曼輸運方程(BTE)。流體的熱導率、粘度和電導率也可以透過玻爾茲曼方程獲得。1872年,路德維希·玻爾茲曼推匯出一個方程,將熱力學的統計反應歸類為不平衡狀態。在現代物理學中,統計力學是物理學中最重要的章節之一。麥克斯韋-玻爾茲曼統計是現代統計力學的一部分。
什麼是玻爾茲曼方程?
玻爾茲曼方程描述了流體與溫度的反應。該方程也稱為玻爾茲曼輸運方程 (BTE)。該方程是一個非線性積分微分方程。
$$\mathrm{\frac{N_b}{N_a}=\left(\frac{g_b}{g_a}\right)e^{− \frac{(E_b-E_a)}{kT}}}$$
這裡
Nb 和 a = 原子數
k=玻爾茲曼常數
T=氣體溫度
陳述:玻爾茲曼定律
玻爾茲曼定律也稱為斯特藩-玻爾茲曼定律。它指出,完美黑體每秒每單位面積輻射的總熱能與其絕對溫度的四次方成正比。
$$\mathrm{E\:\alpha\:T^4}$$
$$\mathrm{E=\sigma T^4}$$
這裡,
E=熱能
T=絕對溫度
這裡 $\mathrm{\sigma}$ 是斯特藩常數
$$\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8} Wm^{−2} K^{−4}}$$
斯特藩的結果由玻爾茲曼給出理論證明。
路德維希·玻爾茲曼
路德維希·玻爾茲曼是一位出生於1844年的奧地利物理學家。他給出了熱力學第二定律的統計描述,統計力學的發展是他一生中最大的成就。熵的當前定義由玻爾茲曼給出。
$$\mathrm{S=k_B ln\Omega}$$
這裡,
$\mathrm{\Omega}$ 是微觀狀態的數量,等於系統的能量。
$\mathrm{k_B}$ 稱為玻爾茲曼常數。
1863年,他在維也納大學學習。他學習數學和物理學。1866年,他完成了博士學位。約瑟夫·斯特藩是玻爾茲曼的導師。斯特藩是物理研究所的所長。玻爾茲曼與斯特藩密切合作。1890年,巴伐利亞慕尼黑大學任命玻爾茲曼為理論物理學系主任。他於62歲去世(1906年9月5日)。
什麼是玻爾茲曼常數?
馬克斯·普朗克引入了玻爾茲曼常數。它是連線氣體動能和氣體溫度的常數值。玻爾茲曼常數是蒸汽或氣體常數與阿伏伽德羅常數之比。兩者都是常數值。
$$\mathrm{k=\frac{R}{N_A}}$$
這裡,
k=玻爾茲曼常數
R=氣體常數
$\mathrm{N_A}$-阿伏伽德羅常數
通常將玻爾茲曼常數表示為 $\mathrm{k_B}$。
玻爾茲曼常數的單位是焦耳每開爾文或 $\mathrm{m^2 kgs^{−2} K^{−1}}$。
$\mathrm{k_B=1.3806452×10^{−23} J/K.}$ 的值。
$$\mathrm{k_B=1.3806452×10^{−23} m^2 kgs^{−2} K^{−1} }$$
玻爾茲曼常數在經典物理學的統計力學中體現了原子的能量。玻爾茲曼因子由玻爾茲曼常數表示。在熵的當前定義中,玻爾茲曼常數起著至關重要的作用。在半導體物理學中,熱電壓由玻爾茲曼常數表示。
斯特藩-玻爾茲曼輻射定律
玻爾茲曼定律也稱為斯特藩-玻爾茲曼定律。它指出,完美黑體每秒每單位面積輻射的總熱能與其絕對溫度的四次方成正比。
$$\mathrm{E\:\alpha\:T^4}$$
$$\mathrm{E=\sigma T^4}$$
為了推匯出這個公式,我們可以使用普朗克輻射公式,
$$\mathrm{\frac{dP}{dA}\frac{1}{A}=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}}$$
對兩邊關於 λ 進行積分,積分限為,
$$\mathrm{\int_{0}^{\infty}\frac{d(\frac{P}{A})}{d\lambda}=\int_{0}^{\infty} \begin{bmatrix}\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}\end{bmatrix}d\lambda}$$
$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi hc^2\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{d\lambda}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}\end{bmatrix}---------(1)}$$
設 $\mathrm{\frac{hc}{\lambda kT}=x}$
$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:h=\frac{x\lambda kT}{c}}$$
$$\mathrm{c=\frac{x\lambda kT}{h}}$$
對 x 值關於 λ 求導
$$\mathrm{dx=-\frac{hc}{\lambda^2 kT}d\lambda}$$
$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:-\frac{\lambda^2 kT}{hc}dx}$$
將 h、c、dλ 和 x 的值代入方程 (1)。
$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi (\frac{x\lambda kT}{c})(\frac{x\lambda kT}{h})^2\int_{0}^{\infty}\frac{-\frac{λ^2 kT}{hc}dx}{e^x-1}}$$
$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi (\frac{x^3 \lambda^5 k^4 T^4}{h^3 c^2 \lambda^5})\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{dx}{e^x-1}\end{bmatrix}}$$
$$\mathrm{\frac{P}{A}=\frac{2\pi(kT)^4}{h^3 c^2}\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{x^3}{e^x-1}\end{bmatrix}dx----------(2)}$$
根據積分公式
$$\mathrm{\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{x^3}{e^x-1}\end{bmatrix}dx=\frac{\pi^4}{15}}$$
將此公式代入方程 (2)
$$\mathrm{\frac{P}{A}=\frac{2\pi(kT)^4}{h^3 c^2}\frac{\pi^4}{15}}$$
$$\mathrm{\frac{P}{A}=\left(\frac{2k^4 \pi^5}{15h^3 c^2}\right)T^4}$$
這裡 $\mathrm{\left(\frac{2k^4 \pi^5}{15h^3 c^2}\right)=\sigma}$
$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:\frac{P}{A}=\sigma T^4}$$
(或)
$$\mathrm{\varepsilon=\sigma T^4\:\:\:\:\:(\varepsilon=\frac{P}{A})}$$
$\mathrm{\varepsilon=\sigma T^4}$ 是斯特藩-玻爾茲曼公式。
玻爾茲曼方程的應用
利用玻爾茲曼方程可以推匯出質量、電荷、動量和能量守恆定律。
它用於將經典力學重新表述為哈密頓力學。不同的數學方法有助於重新表述這一點。
相對論量子系統,其中碰撞中的粒子數不受保護,因此有可能定義量子玻爾茲曼方程。
為了找到星系動力學,使用玻爾茲曼常數。
玻爾茲曼方程示例
示例:在熱力學平衡中,氫原子 (H) 氣體在第一和第二狀態下具有相同數量的原子。計算氣體的溫度。
答:玻爾茲曼方程為
$$\mathrm{\frac{N_b}{N_a}=(\frac{g_b}{g_a})e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$
根據給定的說明,原子數 $\mathrm{N_1}$ 和 $\mathrm{N_2}$ 相等。因此,原子數之比等於 1。
$$\mathrm{\frac{N_2}{N_1}=1}$$
氫的簡併度 $\mathrm{g_n=2n^2}$
$$\mathrm{n=1\:then\:g_1=2(1)^2=2}$$
$$\mathrm{n=2\:then\:g_2=2(2)^2=8}$$
$$\mathrm{\frac{g_2}{g_1}=\frac{8}{2}=4}$$
將這些值應用於玻爾茲曼方程,
$$\mathrm{1=4e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$
$$\mathrm{\frac{1}{4}=e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$
在兩邊取 ln
$$\mathrm{ln(0.25)=-\frac{\Delta E}{kT}}$$
氫原子的 ΔE 為 $\mathrm{\Delta E=1.63×10^{−18}\:J}$
$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:溫度\:\:T=-\frac{\Delta E}{k(ln(0.25))}}$$
應用能量變化和玻爾茲曼常數值,我們得到,
$$\mathrm{T=8.53×10^4\:K}$$
結論
玻爾茲曼方程由路德維希·愛德華·玻爾茲曼提出。在1872年。他發展了統計力學,並取得了他一生中最大的成就。當流體運動時,熱能和動量的物理量變化由玻爾茲曼方程計算。流體的熱導率、粘度和電導率也可以透過玻爾茲曼方程獲得。玻爾茲曼定律也稱為斯特藩-玻爾茲曼定律。斯特藩是物理研究所的所長。玻爾茲曼與斯特藩密切合作。利用玻爾茲曼方程可以推匯出質量、電荷、動量和能量守恆定律。它用於將經典力學重新表述為哈密頓力學。不同的數學方法有助於重新表述這一點。
常見問題
Q1. 什麼是阿伏伽德羅常數?
答。在一摩爾物質中,有多少個分子稱為阿伏伽德羅常數。$\mathrm{6.023×10^{23}}$ 是阿伏伽德羅常數的值,對於所有介質都是一個常數值。
Q2. 定義熱力學第一定律和第二定律
答。系統所做的功與內能變化之和等於提供的熱能。這就是熱力學第一定律。
熱力學第一定律定義了功和熱之間的統一性。
熱力學第二定律是熱力學第一定律的過程是否發生。許多科學家對熱力學第二定律給出了許多解釋。
Q3. 什麼是完美黑體?
答。當加熱黑體時,如果它完全吸收落在其上的所有波長的熱輻射,併發出所有波長的熱輻射,則稱為完美黑體。
Q4. 氣體溫度為 1000K。計算輻射能量。已知 $\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8}\:Wm^{−2} K^{−4}}$。
答。給定溫度
T=1000K
$$\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8}\:Wm^{−2} K^{−4}}$$
$$\mathrm{輻射能量\:E=\sigma T^4}$$
$$\mathrm{E=(5.67×10^{−8})(1×10^3)^4}$$
$$\mathrm{E=5.67×10^4\:Wm^{−2}\:K^{−3}}$$
Q5. 說明牛頓冷卻定律
答。物質的冷卻速率與其周圍環境和物質之間的溫差成正比。該定律對於溫度的小變化具有優勢。輻射熱能損失取決於表面的特性和未覆蓋表面的面積。