氣體動理論推導


簡介

這種氣體理論描述了包含在某些容器中的氣體的行為。作為分子或氣體的粒子始終處於隨機運動中,因為它們不斷移動並彼此碰撞,並且還與容器碰撞。此外,容器記憶體在一些壓力和溫度。

分子獲得的路徑是直的,該路徑被稱為平均自由程。碰撞後,分子會立即與其他分子碰撞,因此始終保持速度。

氣體動理論

氣體包含大量大小可忽略不計的粒子,稱為分子。這些分子處於持續或恆定運動或隨機運動狀態。在此隨機運動過程中,分子以一定速度連續運動以及它們所放置的容器或容器的壁。碰撞是如此瞬時。

假設

  • 動能 (KE) 和動量 (P) 將守恆。

  • 氣體分子的尺寸可以忽略不計(近似為零)。

  • 氣體分子之間沒有吸引力或排斥力。

  • 氣體由大量微小粒子組成,這些粒子在所有可能的方向上隨機移動

  • 質心處於靜止狀態

  • 分子除了在碰撞過程中不相互施加力或對容器壁施加力。

  • 兩個分子之間的碰撞是完全彈性的

  • 服從牛頓運動定律的氣體分子。

推導

圖 1:分子在立方體中的運動

考慮一個包含 n 個原子或分子氣體的立方體容器,m 是氣體中每個分子的質量,l 是立方體每一側的長度。

分子的動量變化,$\mathrm{\Delta P=P_2-P_1}$

$\mathrm{\Delta P=mv_x-(-mv_x)=2mv_x}$

連續撞擊的時間,

$\mathrm{Time,\:t=\frac{Distance}{Velocity}=\frac{2A}{v_x}}$

作用在壁上的力,

$\mathrm{Force,\:F=\frac{Change\:in \:momentum}{change\:in\:time}=\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{2mv_x}{\frac{2A}{v_x}}=\frac{mv_x^{2}}{l}}$

現在,$\mathrm{Pressure,\:P=\frac{force}{area}=\frac{\frac{mv_x^{2}}{l}}{l^2}=\frac{mv_x^{2}}{l^3}}$

$\mathrm{P=\frac{m}{l^2}(v_{x1}^2+v_{x2}^2+v_{x3}^2)}$

$\mathrm{P=\frac{m}{l^2}(Nv_x^{2})}$

$\mathrm{P=\frac{mNv_x^{2}}{v}}$

$\mathrm{{As\:v_x^{2}=v_y^{2}=v_z^{2}}}$ 或我們寫 $\mathrm{v^2=3v_x^{2}}$

$\mathrm{v_x^{2}=\frac{1}{3}v^2}$

$\mathrm{PV=\frac{1}{3}mNv^2.......….(1)}$

氣體分子的平均動能

正如我們從理想氣體方程中所知

$\mathrm{PV=nRT ........….(2)}$

聯立方程 (1) 和 (2),我們得到

$\mathrm{\frac{1}{3}mV^2=nRT}$

乘以 2 併除以 2

$\mathrm{nRT=\frac{1}{2}\frac{2}{3}mv^2}$

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{nRT}{N}}$

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{RT}{\frac{N}{n}}}$

N - 氣體分子總數

n - 氣體的摩爾數

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{RT}{N_A}\:\:\:\:(N_A=\frac{N}{n})}$

$\mathrm{N_A}$ - 阿伏加德羅常數

R - 普適氣體常數

T - 溫度

m - 質量

v - 速度

阿伏加德羅常數是一摩爾氣體中存在的分子數。

因此,氣體的平均動能由下式給出

$\mathrm{K.E=\frac{3}{2}kT\:\:\:\:\:(k=\frac{R}{N_A})}$

k - 玻爾茲曼常數

對於單原子分子,總內能由下式給出

$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} PV}$

此外,$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} NkT}$

$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} nRT}$

動能的意義

通過了解溫度,我們可以直接計算出氣體分子的平均動能,因為溫度與氣體分子的動能成正比。

任何氣體的分子或原子都被認為是,但是是的,氣體被視為理想氣體。

氣體動理論有助於理解宏觀引數(如壓力、體積、溫度)或微觀引數(如動能、動量、速度等)以及粒子的反之亦然。

結論

氣體動理論有助於理解粒子的宏觀性質或微觀性質。通過了解溫度,我們可以輕鬆找到平均動能,因為動能與溫度成正比。所有這些都將在理想氣體下進行研究。

常見問題

Q1. 四個滾動的球的速度分別為 $\mathrm{1ms^{-1},2ms^{-1},2ms^{-1},\:and \:4ms^{-1}}$。它們的均方根速度是多少?

答:眾所周知,$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{v_1^{2}+v_1^{2}+v_1^{2}+v_1^{2}}{4}}}$

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{1+4+9+16}{4}}}$

$\mathrm{v_{rms}=2.5m/s(大約)}$

Q2. 平均動能取決於哪些因素?

答:溫度是唯一影響動能的因素,因為溫度與容器或容器中所含粒子的動能成正比。

Q3. 溫度低於絕對零度是否可能?

答:否,溫度不能低於絕對零度。我們可以這樣說,因為如果溫度變為零,則均方速度也將為零,並且我們知道分子不能為負數,所以這是不可能的。

Q4. 容器包含 1 摩爾溫度為 T1 的氣體,壓力為 P。包含 1 摩爾相同氣體且溫度為 2T 的相同容器的壓力是多少?

答:眾所周知,理想氣體方程

$\mathrm{PV=nRT}$

$\mathrm{\frac{PV}{T}=nR}$ 或常數

所以 $\mathrm{\frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}}$

$\mathrm{P_{2}=\frac{P_1V_1}{T_1}\times \frac{T_2}{v_2}}$

$\mathrm{P_{2}=\frac{PV}{T}\times \frac{2T}{v}}$ (由於是相同的容器,我們有,$\mathrm{V_1=V_2=V}$)

$\mathrm{P_{2}=2P}$

因此,當溫度加倍時,壓力也加倍。

Q5.“真實氣體在非常低的壓力和高溫下表現為理想氣體”。解釋這個說法。

答:在理想氣體中,分子體積為零,分子間力也為零。

在低壓 (P) 下,氣體的量遠高於分子體積。因此,與氣體體積相比,分子體積可以忽略不計。在高溫 (T) 下,分子或原子的能量變得非常高,即可以忽略分子間力的影響。因此,在低壓和高溫下,氣體表現為理想氣體。

Q6. 一個裝有 He 氣體的容器包含 2 摩爾溫度為 10°C 的氣體。計算原子的均方根速度。假設氦氣表現為理想氣體。

答:已知:分子數,n = 2

溫度,T = 273 + 10 = 283°C

普適氣體常數值,R = 8.31 J/mol

正如我們所知,

氦 (He) 的分子質量 $\mathrm{= 4\: g/mol = 4\times\:10^{-3} \:kg/mol}$ 均方根速度,

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}}$

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{3\times 8.31 \times 283}{4\times 10^{-3}}}}$

$\mathrm{v_{rms}=1.76 \times \:10^6\: m/s}$

因此,氦氣在 10°C 時的均方根速度為 $\mathrm{1.76 \times \:10^{6}\: m/s}$

更新於: 2023 年 1 月 10 日

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