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法律學下列語句是“正確”還是“錯誤”？請說明你的理由。
如果一個二次多項式\( a x^{2}+b x+c \)的兩個零點都是正數，那麼\( a, b \)和\( c \)都具有相同的符號。
待辦事項
我們需要確定給定語句是真還是假。
解答
(i) 令$\alpha$和$\beta$為二次多項式\( a x^{2}+b x+c \)的兩個零點。
如果一個二次多項式\( a x^{2}+b x+c \)的兩個零點都是正數，則
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$
$\alpha \beta=\frac{c}{a}$
這意味著，
$c>0, a>0$ 且 $b<0$ 或 $c<0, a<0$ 且 $b>0$
它們並不都具有相同的符號。
因此，給定語句是錯誤的。
(ii) 我們知道，
一個二次多項式可能恰好在一個點與X軸相切，或恰好在兩個點與X軸相交，或不與X軸相交。
因此，
如果一個多項式的影像只在一個點與\( X \)軸相交，那麼它不可能是二次多項式。
因此，給定語句是正確的。
(iii) 我們知道，
如果一個多項式的影像恰好在兩個點與X軸相交，那麼它可能是也可能不是二次多項式。
度數大於2的多項式也可能在恰好兩個點與X軸相交，當它有兩個實根和其它虛根時。
因此，給定語句是正確的。
(iv) 令$\alpha, \beta$和$\gamma$為三次多項式p(x)的三個零點。
已知其中兩個零點為零。
令$\alpha=\beta=0$且$\gamma=a$
因此，
$p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
$=(x-0)(x-0)(x-a)$
$=x^{3}-a x^{2}$，它沒有一次項和常數項。
因此，給定語句是正確的。
(v) 令$p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$為一個三次多項式，並且 $\alpha, \beta, \gamma$為$p(x)$的根。
這意味著，
根的和$=\alpha+\beta+\gamma=-a$
負數的和為負數。
這意味著，
$a$為正數。
兩兩相乘的根的和$=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$
兩個負數的積為正數，正數的和為正數。
這意味著，
$b$為正數
根的積$=\alpha \beta \gamma=-c$
三個負數的積為負數
這意味著，
$c$為正數。
因此，所有三個係數的符號都為正。
因此，給定語句是正確的。
(vi) 令$\alpha, \beta$和$ \gamma$為三次多項式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的三個零點
這意味著，
零點的積$=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text {常數項}}{\text {x}^{3} \text {的係數}}$
$=\frac{-c}{1}$
$\alpha \beta \gamma=-c$
已知，所有三個零點都是正數。
這意味著，
所有三個零點的積也是正數。
$\alpha \beta \gamma>0$
$-c>0$
$c<0$
零點的和$=\alpha+\beta+\gamma=-\frac{\text {x}^{2} \text {的係數}}{\text {x}^{3} \text {的係數}}$
$=\frac{-a}{1}$
$=-a$
但$\alpha, \beta$和$\gamma$都是正數。
這意味著，它們的和也是正數。
$\alpha+\beta+\gamma>0$
$-a>0$
$a<0$
兩兩相乘的根的和$=\frac{\text {x的係數}}{\text {x}^{3} \text {的係數}}$
$=\frac{-b}{1}$
$= -b$
因此，三次多項式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$只有當所有常數$a, b$和$c$都是負數時，它的三個零點才是正數。
因此，給定語句是錯誤的。
(vii) 令$f(x) = kx^2 + x + k$
對於相等根，$f(x)$的判別式應為零。
$D = b^2 - 4ac = 0$
因此，
$D=1^2-4(k)(k) = 0$
$1=4k^2$
$k^2=\frac{1}{4}$
$k =\sqrt{\frac{1}{4}}$
$k=\pm \frac{1}{2}$
因此，對於兩個$k$值，給定的二次多項式具有相等的零點。
因此，給定語句是錯誤的。
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