下列說法是“正確”還是“錯誤”？請說明理由。
如果三次多項式的所有零點都是負數，則該多項式的所有係數和常數項都具有相同的符號。

已知

如果三次多項式的所有零點都是負數，則該多項式的所有係數和常數項都具有相同的符號。

要做的事情

我們必須確定給定語句是正確還是錯誤。

解答

設$p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$是一個三次多項式，$\alpha, \beta, \gamma$是$p(x)$的根。

這意味著：

根的和 = $\alpha+\beta+\gamma=-a$

負數的和是負數。

這意味著：

$a$是正數。
根的兩兩乘積 = $\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma+\gamma \cdot \beta=b$

兩個負數的乘積是正數，正數的和是正數。
這意味著：

$b$是正數
根的乘積 = $\alpha \beta \gamma=-c$

三個負數的乘積是負數
這意味著：

$c$是正數。
因此，所有三個係數的符號都是正數。
因此，給定語句是正確的。

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更新於：2022年10月10日

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