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法學下列說法是“正確”還是“錯誤”？請說明你的理由。
如果三次多項式\( x^{3}+a x^{2}-b x+c \)的三個零點都是正數，那麼\( a, b \)和\( c \)中至少有一個是非負數。
已知
如果三次多項式\( x^{3}+a x^{2}-b x+c \)的三個零點都是正數，那麼\( a, b \)和\( c \)中至少有一個是非負數。
待解決
我們必須判斷給定語句是正確還是錯誤。
解答
設$\alpha, \beta$和$ \gamma$是三次多項式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的零點
這意味著：
零點的乘積$=\alpha \beta \gamma=-\frac{\text { 常數項 }}{\text { x}^{3}\text { 的係數}}$
$=\frac{-c}{1}$
$\alpha \beta \gamma=-c$
已知，所有三個零點都是正數。
這意味著：
三個零點的乘積也是正數。
$\alpha \beta \gamma>0$
$-c>0$
$c<0$
零點的和$=\alpha+\beta+\gamma=-\frac{\text { x}^{2}\text { 的係數 }}{\text { x}^{3}\text { 的係數}}$
$=\frac{-a}{1}$
$=-a$
但是$\alpha, \beta$和$\gamma$都是正數。
這意味著它們的和也是正數。
$\alpha+\beta+\gamma>0$
$-a>0$
$a<0$
兩個零點乘積的和$=\frac{\text { x的係數 }}{\text { x}^{3}\text { 的係數}}$
$=\frac{-b}{1}$
$=-b$
因此，只有當所有常數$a, b$和$c$都為負數時，三次多項式$x^{3}+a x^{2}-b x+c$的三個零點才都是正數。
因此，給定語句是錯誤的。
更新於：2022年10月10日
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