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法學判斷下列語句是真還是假。請說明你的理由。
點\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)共線，且\( AB=\frac{2}{9} AC \).
已知
點\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)共線，且\( AB=\frac{2}{9} AC \).
要求
我們必須判斷給定語句是真還是假。
解答
我們知道：
如果由點$(x_1,y_1), (x_2, y_2)$和$(x_3, y_3)$構成的三角形的面積為零，則這些點共線。
我們知道：
三角形面積$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
這裡：
$x_{1}=-6, x_{2}=-4, x_{3}=3$ 且 $y_{1}=10, y_{2}=6, y_{3}=-8$
因此：
由點\( A(-6,10), B(-4,6) \)和\( C(3,-8) \)構成的三角形的面積是：
面積 $=\frac{1}{2}[-6\{6-(-8)\}+(-4)(-8-10)+3(10-6)]$
$=\frac{1}{2}[-6(14)+(-4)(-18)+3(4)]$
$=\frac{1}{2}(-84+72+12)$
$=0$
這意味著：
給定的點共線。
點$A(-6,10)$和$B(-4,6)$之間的距離是：
$AB=\sqrt{(-4+6)^{2}+(6-10)^{2}}$
$=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{4+16}$
$=\sqrt{20}$
$=2 \sqrt{5}$
點$A(-6,10)$和$C(3,-8)$之間的距離是：
$AC=\sqrt{(3+6)^{2}+(-8-10)^{2}}$
$=\sqrt{9^{2}+(-18)^{2}}$
$=\sqrt{81+324}$
$=\sqrt{405}$
$=\sqrt{81 \times 5}$
$=9 \sqrt{5}$
$AB=\frac{2}{9} AC$
因此，給定語句為真。
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