判斷下列語句的真假，並說明理由
\( \cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b} \)，其中\( a \)和\( b \)是兩個不同的數，且\( ab>0 \).

已知

\( \cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b} \)，其中\( a \)和\( b \)是兩個不同的數，且\( ab>0 \).

要求

我們需要判斷給定語句的真假。

解答

\(a\)和\(b\)是兩個不同的數，且\(ab>0\).

這意味著：

算術平均數 > 幾何平均數

兩個數\(a\)和\(b\)的算術平均數和幾何平均數分別為\(\frac{a+b}{2}\)和\(\sqrt{ab}\)

因此：

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{2}>\sqrt{a^{2} \times b^{2}}\)

\(a^{2}+b^{2}>2ab\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}>1\)

\(\cos \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}\)

\(\cos \theta>1\)，這是不可能的。 [-1 ≤ cos θ ≤ 1]

因此：

\(\cos \theta \ne \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}\).

教程點

更新於：2022年10月10日

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