以下一對線性方程組是否相容？請說明理由。
\( 2 a x+b y=a \)
\( 4 a x+2 b y-2 a=0 ; \quad a, b
≠0 \)

已知

給定的方程組為：

\( 2 a x+b y=a \)

\( 4 a x+2 b y-2 a=0 ;  a, b ≠ 0 \)

求解

我們需要確定給定的這對線性方程組是否相容。

解答

我們知道：

線性方程組相容的條件是：

$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$                [對於唯一解]

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$            [對於無限多解]

\( 2 a x+b y-a=0 \)

\( 4 a x+2 b y-2 a=0; a, b ≠ 0 \)

這裡：

$a_1=2a, b_1=b, c_1=-a$

$a_2=4a, b_2=2b, c_2=-2a$

因此：

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-a}{-2a}=\frac{1}{2}$

這裡：

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

因此，給定的這對線性方程組有無限多解，因此是相容的。   

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更新於: 2022年10月10日

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