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法律學一個直角三角形，其兩條直角邊長分別為\( 3 \mathrm{~cm} \)和\( 4 \mathrm{~cm} \)（不包括斜邊），繞其斜邊旋轉。求由此形成的雙圓錐的體積和表面積。（選擇合適的\( \pi \)值）。
已知
一個直角三角形，其兩條直角邊長分別為\( 3 \mathrm{~cm} \)和\( 4 \mathrm{~cm} \)（不包括斜邊），繞其斜邊旋轉。
要求
我們需要求由此形成的雙圓錐的體積和表面積。
解答
設直角三角形$ABC$的兩條直角邊分別為$AB=3\ cm$和$BC=4\ cm$。
根據勾股定理，可得
$AC^2=AB^2+BC^2$
$AC^2=3^2+4^2$
$=9+16$
$=25$
$\Rightarrow AC=\sqrt{25}$
$=5\ cm$
當三角形$ABC$繞斜邊$AC$旋轉時，會形成如下所示的雙圓錐。
在$\triangle \mathrm{ABC}$和$\triangle \mathrm{BDC}$中，
$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{CDB}=90^{\circ}$ ($\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC})$)
$\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{BCD}$ (公共角)
因此，根據角角相似，
$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{BDC}$
這意味著，
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$ (相似三角形的對應邊成比例)
比例)
$\mathrm{BD}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$
$=\frac{3 \mathrm{~cm} \times 4 \mathrm{~cm}}{5 \mathrm{~cm}}$
$=\frac{12}{5} \mathrm{~cm}$
$=2.4 \mathrm{~cm}$
我們知道，
高為$h$，底半徑為$r$的圓錐的體積為$\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
圖中雙圓錐的體積 = 圓錐ABB'的體積 + 圓錐BCB'的體積
$=\frac{1}{3} \times \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{AD}+\frac{1}{3} \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{DC}$
$=\frac{1}{3}\times \pi(\mathrm{BD})^{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{DC})$
$=\frac{1}{3} \times \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{AC})$
$=\frac{1}{3}\times 3.14 \times (2.4)^2 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$
$=30.144 \mathrm{~cm}^{3}$
圓錐的側面積 $=\pi rl$
雙圓錐的側面積 = 圓錐ABB'的側面積 + 圓錐BCB'的側面積
$=\pi \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AB}+\pi \times \mathrm{BD} \times \mathrm{BC}$
$=\pi \times \mathrm{BD}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC})$
$=3.14 \times 2.4 \mathrm{~cm} \times(3 \mathrm{~cm}+4 \mathrm{~cm})$
$=3.14 \times 2.4 \mathrm{~cm} \times 7 \mathrm{~cm}$
$=52.752 \mathrm{~cm}{ }^{2}$
$=52.75 \mathrm{~cm}{ }^{2}$
由此形成的雙圓錐的體積和表面積分別為$30.144 \mathrm{~cm}^{3}$和$52.75 \mathrm{~cm}{ }^{2}$。
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