羅爾定理和拉格朗日中值定理

---

簡介

羅爾定理和拉格朗日中值定理是在一個區間上對函式進行解釋，如果函式滿足在給定閉區間上的連續條件和在給定開區間上的可微條件。函式在閉區間上的連續性定義為函式的圖形在該區間上不應包含任何斷裂。函式在開區間上的可微性定義為函式在區間中的每個點都應該是可微的。

連續性和可微性

連續性：讓我們取一個函式 𝑓(𝑥)，其定義域為一個點 𝑘，該點在函式的定義域中。

如果 $\mathrm{\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)\:=\:f(k)}$，則函式 𝑓(𝑥) 在點 𝑘 處是連續的。

準確地說，在 $\mathrm{x\:=\:k:\:\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)\:=\:f(k)\:=\:\lim_{x\:\rightarrow\:k}f(x)}$

如果函式滿足以下條件，則該函式在閉區間 [𝑎, 𝑏] 上是連續的。

• 該函式在其開區間 (𝑎, 𝑏) 上應該是連續的

• $\mathrm{\lim_{x\:\rightarrow\:a}f(x)\:=\:f(a)}$

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:b}f(x)\:=\:f(b)}$

可微性：假設一個函式 𝑓(𝑥)，如果極限存在，則其導數為 𝑓′(𝑥)

那麼 $\mathrm{f'(x)\:=\:\lim_{h\rightarrow\:0}\:\frac{f(x\:+\:h)\:-\:f(x)}{h}}$ 如果函式在 x = k 處的 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\:\frac{f(k\:+\:h)\:-\:f(k)}{h}\:=\:\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(k\:+\:h)\:-\:f(k)}{h}}$ 相等且有限，則該函式在該點處是可微的。

在一個開區間中，如果函式在該區間的每個點都可微，則該函式是可微的。

在閉區間 [𝑎, 𝑏] 中，如果函式滿足以下條件，則該函式是可微的。

• 如果函式在 𝑎 處的右導數 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0^{-}}\frac{f(a\:+\:h)\:-\:f(a)}{h}}$ 和函式在 𝑏 處的左導數 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0^{-}}\frac{f(b\:+\:h)\:-\:f(b)}{h}}$

• 函式的 $\mathrm{f'(x)}$ 在區間 (𝑎, 𝑏) 的每個點都存在

羅爾定理

羅爾定理定義為，如果在 [𝑎, 𝑏] 上定義的函式滿足以下條件：

• 函式在 [𝑎, 𝑏] 上是連續的

• 函式在 (𝑎, 𝑏) 上是可微的

那麼在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一個點，假設為 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

可能存在多個值，但至少存在一個值。

羅爾定理也定義為，如果 $\mathrm{f(a)\:=\:f(b)}$，則在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一個點，假設為 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

如果多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 有兩個根，則 $\mathrm{f'(x)\:=\:0}$ 至少有一個根位於多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 的根之間。

拉格朗日中值定理

它定義為，如果在區間 [𝑎, 𝑏] 上定義的函式滿足以下條件：

• 函式在 [𝑎, 𝑏] 上是連續的

• 函式在 (𝑎, 𝑏) 上是可微的

那麼在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一個點，假設為 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}}$ 如果 $\mathrm{f(b)\:=\:f(a)\:then\:f'(k)\:=\:0}$ 是羅爾定理。

介值定理

一般來說，假設函式的連續圖形，在連續圖形中取兩點，並考慮一條線，使得這兩點位於線的相對兩側，則它必須至少與圖形相交一次，當然，對於這兩點位於相對兩側，它必須穿過該線，這是介值定理的基本思想。

定義：一個函式 $\mathrm{f(x)}$ 在區間 [a, b] 上是連續的，其中 𝑘 是 𝑓(𝑎) 和 𝑓(𝑏) 之間的一個值，則必須至少存在一個值，假設為 𝑐，位於 [a, b] 之間，使得 $\mathrm{f(c)\:=\:k}$。該定義表示至少存在一個值，但可能存在多個值。

例題解析

1) 檢查以下函式是否滿足羅爾定理 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1\:for\:[-3\:,\:3]}$ ?

給定函式 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$ 在該區間上是連續且可微的。

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$$

$\mathrm{f(3)\:=\:x^{2}\:+\:1\:=\:9\:+\:1\:=\:10}$

$\mathrm{f(-3)\:=\:x^{2}\:+\:1\:=\:9\:+\:1\:=\:10}$

$$\mathrm{f(3)\:=\:f(-3)\:10}$$

根據羅爾定理的定義，我們知道，假設在 (-3, 3) 中存在一個 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$$

$\mathrm{f'(x)\:=\:0}$

$$\mathrm{x\:=\:0}$$

0 位於 (−3, 3) 之間。因此得證。

2) 檢查以下函式是否滿足拉格朗日定理 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:for\:[-2\:,\:2]}$

給定函式 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在區間 $\mathrm{[-2\:,\:2]}$ 上定義。

$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在區間 $\mathrm{[-2\:,\:2]}$ 上是連續的。

$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$ 在區間 $\mathrm{(-2\:,\:2)}$ 上是可微的。

$$\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:2x\:+\:2}$$

$\mathrm{f(-2)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:=\:4\:-\:4\:+\:1\:=\:1}$

$\mathrm{f(2)\:=\:x^{2}\:+\:2x\:+\:1\:=\:4\:+\:4\:+\:1\:=\:9}$

根據拉格朗日定理，我們知道 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}\:=\:2}$

$$\mathrm{f'(k)\:=\:2}$$

$$\mathrm{f'(k)\:=\:2k\:+\:2\:=\:2}$$

𝑘 = 0 位於 [−2, 2] 之間。因此得證。

結論

在本教程中，我們學習了函式在區間上的連續性和可微性、函式在區間上的羅爾定理、函式在區間上的拉格朗日定理以及函式在區間上的介值定理，以及一些示例。

常見問題

1. 定義羅爾定理和拉格朗日中值定理？

羅爾定理指出，在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一個點，假設為 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:0}$ 拉格朗日定理指出，在 (𝑎, 𝑏) 中至少存在一個點，假設為 𝑘，使得 $\mathrm{f'(k)\:=\:\frac{f(b)\:-\:f(a)}{b\:-\:a}}$

2. 如何驗證函式在閉區間上是連續的？

在閉區間 [𝑎, 𝑏] 中，函式是連續的

• 如果函式在其開區間 (𝑎, 𝑏) 上是連續的

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:a}f(x)\:=\:f(a)}$

• $\mathrm{\lim_{x\rightarrow\:b}f(x)\:=\:f(b)}$

3. 如何驗證函式在閉區間上是可微的？

在閉區間 [𝑎, 𝑏] 中，如果函式在 𝑎 處的右導數 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(a\:+\:h)\:-\:f(a)}{h}}$ 存在，函式在 𝑏 處的左導數 $\mathrm{\lim_{h\rightarrow\:0}\frac{f(b\:+\:h)\:-\:f(b)}{h}}$ 存在，並且函式的 $\mathrm{f'(x)}$ 在區間 (𝑎, 𝑏) 的每個點都存在，則該函式是可微的。

4. 使用介值定理檢查多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6}$ 在 [𝟎, 𝟑] 之間是否有根？

給定 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6}$ 在 [0, 3] 中是連續的，因為它是一個多項式函式。

在 $\mathrm{x\:=\:0\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6\:=\:-6}$

在 $\mathrm{x\:=\:3\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:+\:x\:-\:6\:=\:6}$

要有一個根，多項式函式的圖形必須穿過 y = 0。函式在 0 和 3 處的值位於直線 y = 0 的相對兩側，或者數字 0 位於 𝑓(0) 和 𝑓(3) 之間。因此，圖形必須在 [0, 3] 中穿過 y = 0。它在 [0, 3] 之間有一個根。

5. 使用介值定理檢查多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6}$ 在 [-3, 0] 之間是否有根？

給定 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6}$ 在 [-3, 0] 中是連續的，因為它是一個多項式函式

在 $\mathrm{x\:=\:-3\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:-\:-\:5x\:+\:6}$

在 $\mathrm{x\:=\:0\:\colon\:f(x)\:=\:x^{2}\:-\:5x\:+\:6\:=\:6}$

要有一個根，多項式函式的圖形必須穿過 y = 0。

函式在 -3 和 0 處的值位於直線 y = 0 的同一側，或者數字 0 不位於 𝑓(0) 和 𝑓(−3) 之間。

因此，圖形不會在 [-3, 0] 中穿過 y = 0。它在 [-3, 0] 之間沒有根。