餘數定理與多項式

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簡介

餘數定理用於求一個多項式除以另一個多項式時的餘數。多項式是由不同的代數項組成的代數表示式，這些項透過數學運算子（如加號 (+) 和減號 (-)）連線在一起。

多項式的概念幾乎應用於數學的各個領域。此外，多項式被認為是微積分的重要分支之一。它還在科學中有著廣泛的應用。它是代數和代數幾何的核心概念。它用於形成多項式方程和文字題，以分析和解決難題。在本教程中，我們將學習多項式、不同型別多項式以及用於解決多項式的定理，即餘數定理和因式定理。

什麼是多項式？

多項式這個詞是由兩個詞“poly”和“nominal”組成的。“poly”意為多，“nominal”意為項。它是一個由兩個或多個具有不同冪和相同變數的代數項組成的表示式，這些項透過數學運算子連線在一起。多項式中的項包含變數、常數、係數和數學運算子。

• 變數 - 用於表示未知值的字母。這些值是變化的。

• 係數 - 變數的倍數。

• 常數 - 具有固定值的數字。在任何數學條件下它都不會改變。

• 數學運算子 - 這些符號用於表示和執行基本的算術運算，如加法、減法、乘法和除法。

• 指數 - 任何變數要提升的冪。

例如，$\mathrm{5x^{2}\:+\:2x\:-\:3}$

這裡 𝑥 是變數，5 和 2 分別是 $\mathrm{x^{2}\:and\:x}$ 的係數，3 是常數值，+ 和 - 是數學運算子，2 是變數 𝑥 的指數。

多項式根據兩個依據進行分類 -

• 根據項數分類的多項式

• 根據次數分類的多項式

根據項數分類的多項式

根據項數，多項式可分為 3 類 -

i) 單項式

只包含一項的代數表示式稱為單項式

例如，$\mathrm{5x\:,\:\frac{4}{3}m}$

ii) 二項式

包含兩項的代數表示式稱為二項式。

例如，$\mathrm{2x\:-\:3x\:,\:5m\:-\:3m}$

iii) 三項式

包含三項的代數表示式稱為三項式。

例如，$\mathrm{8x^{2}\:+\:5x^{2}\:-\:2x\:,\:5x^{2}\:+\:3x\:-\:2}$

根據次數分類的多項式

進一步根據次數對多項式進行分類，首先我們需要理解次數的概念。任何多項式的次數都是變數的最高冪

根據變數的次數，單變數多項式分為三種類型 -

i) 線性多項式

次數為 1 的多項式稱為線性多項式。

線性多項式的標準形式為 $\mathrm{ax\:+\:b}$，其中，𝑎 和 𝑏 是實數，a 不等於 0。

例如，$\mathrm{3x\:-\:1\:,\:7m}$

ii) 二次多項式

次數為 2 的多項式稱為二次多項式

二次多項式的標準形式為 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:c}$

其中 𝑎、𝑏 和 𝑐 是實數，a 不等於 0

例如，$\mathrm{2x^{2}\:-\:3x\:+\:5\:,\:-2y^{2}}$

iii) 三次多項式

次數為 3 的多項式稱為三次多項式。

三次多項式的標準形式為 $\mathrm{ax^{3}\:+\:bx^{2}\:+\:cx\:+\:d}$

其中 $\mathrm{a\:,\:b\:,\:c\:\&\:d}$ 是實數，a 不等於 0。

例如，$\mathrm{x^{3}\:+\:3x^{2}\:+\:5x\:+\:2}$

多項式可以表示為 $\mathrm{p(x)\:,\:q(m)\:,\:r(y)}$，根據多項式中存在的變數型別。這些多項式可以寫成三種形式，第一種是標準形式，第二種是係數形式，另一種是指數形式。

例如，將 $\mathrm{3m^{5}\:-\:7m\:+\:5m^{3}\:+\:2\:\:\:\&\:\:\:x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:2x^{2}\:+\:5x\:-\:7}$ 寫成標準、係數和指數形式

多項式的標準形式	多項式的係數形式	多項式的指數形式
$\mathrm{3m^{5}\:+\:5m^{3}\:-\:7m\:+\:2}$	$\mathrm{(3\:,\:0\:,\:5\:,\:0\:,\:-7\:,\:2)}$	$\mathrm{3m^{5}\:+\:0m^{4}\:+\:5m^{3}\:-\:0m^{2}\:-\:7m\:+\:2}$
$\mathrm{x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:5x\:+\:2x^{2}\:-\:7}$	$\mathrm{(1\:,\:-3\:,\:2\:,\:5\:,\:,\:-7)}$	$\mathrm{x^{4}\:-\:3x^{3}\:+\:2x^{2}\:-\:5x\:-\:7}$

什麼是因式定理？

因式定理用於求多項式的根和因式。該定理將多項式的因式和零點聯絡起來。

在學習因式定理之前，我們首先需要了解多項式的零點

多項式的零點

多項式的零點是指多項式的值為零的點。

因式定理：如果 𝑝(𝑥) 是一個 n 次多項式，𝑎 是任何實數，則

• $\mathrm{(x\:-\:a)\:是\:p(x)\:的因式\:，如果\:p(a)\:=\:0\:\&}$

• $\mathrm{(a)\:=\:0\:，如果\:(x\:-\:a)\:是\:p{x}\:的因式}$

證明 - $\mathrm{被除數\:=\:除數\:\times\:商\:+\:餘數}$

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)}$$

利用餘數定理，

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:p(a)}$$

令 𝑝(𝑎) = 0，得到，

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:0}$$

因此，$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)}$

所以我們可以說 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 是多項式 𝑝(𝑥) 的因式。

利用因式定理求多項式因式的步驟

• 用給定的 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 除以給定的多項式 𝑝(𝑥)

• 除法後，確認餘數是否為零。如果餘數不為零，則表示 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 不是 𝑝(𝑥) 的因式。

• 利用除法，將給定的多項式寫成 $\mathrm{(x\:-\:a)}$ 和二次商的乘積。

• 將給定的多項式表示為其因式的乘積。

什麼是餘數定理？

該定理用於求一個多項式除以一個線性多項式時的餘數。當我們進行除法時，剩下的數字或項稱為餘數。因此，讓我們討論餘數定理。

餘數定理

設 $\mathrm{p(x)}$ 是任何次數大於或等於 1 的多項式，並設 x 為任何實數。假設 $\mathrm{p(x)}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:a}$，商為 $\mathrm{q(x)}$，餘數為 $\mathrm{r(x)}$，則餘數為 𝑝(𝑎)。

證明 - 設 $\mathrm{p(x)}$ 是任何次數大於或等於 1 的多項式，並設 x 為任何實數。假設 $\mathrm{p(x)}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:a}$，商為 $\mathrm{q(x)}$，餘數為 $\mathrm{r(x)}$。數學上可以表示為

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:r(x)}$$

這裡 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次數為 1，𝑟(𝑥) 的次數小於 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次數

因此 𝑟(𝑥) 的次數 = 0。這意味著 𝑟(𝑥) 是常數，記為 r

$$\mathrm{p(x)\:=\:(x\:-\:a)\times\:q(x)\:+\:r}$$

特別是，如果我們考慮 $\mathrm{x\:=\:a}$，該方程將給出，

$$\mathrm{p(a)\:=\:(a\:-\:a)\:\times\:q(a)\:+\:r}$$

證畢。

利用餘數定理求多項式的整除性和因式

多項式的整除性

考慮三個多項式 $\mathrm{p(x)\:,\:q(x)\:\&\:r(x)}$

因此 $\mathrm{p(x)\:=\:q(x)\:.\:r(x)}$

如果 $\mathrm{p(x)\:,\:q(x)\:\&\:r(x)}$ 是具有整數係數的多項式，那麼我們可以說 $\mathrm{p(x)}$ 可以被 $\mathrm{q(x)}$ 整除。

此屬性也適用於有理數和複數係數

多項式的因式

如果 $\mathrm{p(x)\:=\:q(x)\:.\:r(x)}$ 則我們可以說，$\mathrm{q(x)}$ 和 $\mathrm{r(x)}$ 是 $\mathrm{p(x)}$ 的因式。

例題

1) 利用餘數定理，將 $\mathrm{x^{4}\:-\:5x^{2}\:-\:4x}$ 除以 $\mathrm{x\:+\:3}$ 並求餘數。

答案 - 這裡，被除多項式 $\mathrm{p(x)\:=\:x^{4}\:-\:5x^{2}\:-\:4x}$

$\mathrm{除數\:=\:x\:+\:3}$

$\mathrm{令\:x\:=\:-3}$

將 𝑥 的值代入被除多項式，得到，

$\mathrm{p(-3)\:=\:(-3)^{4}\:-\:5(-3)^{2}\:-\:4(-3)}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:81\:-\:45\:+\:12}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:48}$

因此餘數為 48

2) 如果多項式 $\mathrm{t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$ 被 −𝟑 除，餘數為 62，則求 𝒌 的值。

答案 - 當給定多項式 $\mathrm{t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$ 被 $\mathrm{t\:-\:3}$ 除時，餘數為 62，這意味著當 𝑡 = 3 時，多項式的值為 62。

因此 $\mathrm{p(t)\:=\:t^{3}\:-\:3t^{2}\:+\:kt\:+\:50}$

利用餘數定理，

$$\mathrm{p(3)\:=\:3^{3}\:-\:3\times\:3^{2}\:+\:k\times\:3\:+\:50}$$

$$\mathrm{\:=\:27\:-\:27\:+\:3k\:+\:50}$$

$$\mathrm{=\:3k\:+\:50}$$

但餘數為 $\mathrm{62\:.............(已知)}$

因此

$\mathrm{3k\:+\:50\:=\:62}$

$\mathrm{3k\:=\:62\:-\:50}$

$\mathrm{3k\:=\:12}$

$\mathrm{k\:=\:4}$

3) 若多項式 $\mathrm{p(x)\:=\:x^{3}\:+\:4x\:-\:5}$ 除以 $\mathrm{x\:-\:1}$，求餘數，並判斷 $\mathrm{x\:-\:1}$ 是否為 𝒑(𝒙) 的因式？

答案 - 這裡 $\mathrm{p(x)\:x^{3}\:+\:4x\:-\:5}$

$\mathrm{p(1)\:=\:\:1^{3}\:+\:4\times\:1\:-\:5}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:1\:+\:4\:-\:5}$

這裡餘數為零，

因此，根據餘數定理

$\mathrm{x\:-\:1}$ 是 𝑝(𝑥) 的因式。

4) 因式分解 $\mathrm{(x\:+\:2)\:(x\:-\:3)\:(x\:-\:7)\:(x\:-\:2)\:+\:64}$

答案 - $\mathrm{(x\:+\:2)\:(x\:-\:3)\:(x\:-\:7)\:(x\:-\:2)\:+\:64}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:=\:(x^{2}\:-\:5x\:-\:4)(x^{2}\:-\:5x\:+\:6)\:+\:64}$

令 $\mathrm{x^{2}\:-\:5x\:=\:m}$

$\mathrm{=\:(m\:-\:14)\:(m\:+\:6)\:+\:63}$

$\mathrm{=\:m^{2}\:-\:14m\:+\:6m\:-\:84\:+\:84}$

$\mathrm{=\:m^{2}\:-\:8m\:-\:20}$

$\mathrm{=\:(m\:-\:10)\:(m\:+\:2)}$

$\mathrm{=\:(x^{2}\:-\:5x\:-\:10)\:(x^{2}\:-\:5x\:+\:2)\:.............(將\:x^{2}\:-\:5x\:替換為\:m)}$

結論

本教程涵蓋了餘數定理和多項式主題。我們學習了多項式、不同型別的多項式、多項式的不同形式、餘數定理和因式定理，以及相關的示例。

多項式是由代數項構成的代數表示式。它是代數和代數幾何中的核心概念。它在科學和數學領域有著廣泛的應用。在幾何學中，它被用來表示形狀的周長和麵積以及立體的體積。它也被用來表示氣象學中的天氣模式。本教程將幫助您理解餘數定理和多項式。

常見問題

1. 什麼是四項式？

四項式是一種包含四個項的多項式。

例如，$\mathrm{m^{4}\:-\:2m^{2}\:-\:5\:=\:0}$

2. 餘數定理和因式定理有什麼區別？

餘數定理將除以二項式後的餘數與函式在某一點的值聯絡起來，而因式定理將多項式的因式與其零點聯絡起來。

3. 說明餘數定理的一個應用。

餘數定理的主要應用是因式定理。因式定理是從餘數定理推匯出來的，用於確定多項式的根。

4. 說明因式定理的應用。

在現實生活中，因式分解的概念可以應用於兌換貨幣、將任何數量分成相等的部分以及比較價格。

5. 說明因式定理的重要性。

它是一種特殊型別的多項式定理，用於求多項式的根或因式。這是求多項式因式最簡單的方法。