使用餘數定理，求多項式 $x^3+ x^2 + x + 1$ 除以 $x - \frac{1}{2}$ 的餘數。

已知

$x^3+ x^2 + x + 1$ 被 $x - \frac{1}{2}$ 除

要求

使用餘數定理，求多項式 $x^3+ x^2 + x + 1$ 除以 $x - \frac{1}{2}$ 的餘數。

解答

餘數定理指出，當一個多項式 $p(x)$ 被一個線性多項式 $x - a$ 除時，該除法的餘數將等價於 $p(a)$。

$f(x) = x^3 + x^2 + x+1$

$g(x) = x -\frac{1}{2}$

因此，餘數將是 $f(\frac{1}{2})$.

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2}) + 1$

$= \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}+1$

$=\frac{1+1\times2+1\times4+1\times8}{8}$      (1, 2, 4 和 8 的最小公倍數是 8)

$=\frac{1+2+4+8}{8}$

$=\frac{15}{8}$

因此，餘數是 $\frac{15}{8}$. 

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更新於: 2022年10月10日

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