卡諾定理

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引言

熱力學第一定律指出，在所有封閉系統中，系統的總能量是恆定的——它既不能被創造也不能被消滅。這意味著不可能在不產生功的同時產生熱，反之亦然。第二定律指出，孤立系統的熵永遠不會減少，而是在接近與其周圍環境平衡的過程中會隨著時間的推移而增加。然而，有一些方法可以最佳化熱效率——其中之一就是卡諾定理。

卡諾定理概述

在熱力學系統中，熱量不能完全轉化為功。這是由於一個稱為熱效率的概念。卡諾定理是熱力學中的一個重要結果，它描述了在兩個溫度之間執行的熱機可以提取多少功。

這篇論文的作者實際上是尼古拉·萊昂納德·薩迪·卡諾，他的論文為熱力學成為一門科學鋪平了道路。他的第一個發現之一描述瞭如何將熱能轉化為機械能，並可用於做功，例如為發動機提供動力。這個過程是驅動蒸汽機的過程；它也稱為熱機理論，或者簡稱為卡諾定理。

什麼是可逆和不可逆發動機？

為了充分理解熱機如何以及為什麼工作，我們需要定義可逆和不可逆發動機的含義。可逆發動機是指每一步輸入能量只產生同樣數量的輸出能量的發動機。另一方面，不可逆發動機將其一部分輸入能量轉化為無用的熱量，因此永遠不可能完全高效。事實上，如果一個不可逆發動機是100%高效的，那麼任何溫度差都會產生無限大的功，這是不可能發生在現實中的。

這意味著所有現實世界的發動機都不可逆地損失了一些能量，因此它們的效率總是低於1。但是，有一些方法可以使它們比其他發動機更有效率；例如，蒸汽輪機或噴氣發動機的效率約為50%，而汽車中使用的內燃機的效率高達80%。現在我們知道了這些術語的含義，讓我們來看看卡諾定理本身。

卡諾定理的陳述

在相同兩個熱源之間具有冷端和熱端的發動機（卡諾發動機）比具有相同冷端和熱端但在不同熱源之間工作的發動機效率更高。這可以透過使用可逆過程來證明。本筆記的目的是從第一性原理證明和解釋卡諾定理。

操作方式無關緊要；所有卡諾發動機在兩個熱源之間的效率都相同。這意味著如果在溫度T1和T2處有兩個熱源，那麼在它們之間執行的卡諾發動機的效率將盡可能高。只要我們在這些溫度水平上執行我們的發動機，我們就無法提高其效率。如果您不確定發動機效率在發動機環境中的含義，請考慮功除以能量消耗。

圖片即將推出

讓我們考慮在溫度T1和T2（T1>T2）處的兩個熱源，R是可逆發動機，I是不可逆發動機。A表示不可逆，B表示可逆。

對於可逆發動機，Q1是發動機1吸收的熱量，排出的熱量是Q2。所做的功W1為：

$$\mathrm{W_1\:=\:Q_1\:-\:Q_2}$$

對於不可逆發動機：

$$\mathrm{W_1'\:=\:Q_1'\:-\:Q_2'}$$

共同的熱源是：

$$\mathrm{Q_1A\:=\:Q_2B}$$

效率是

$\mathrm{\eta_A\:=\:W_A/Q_1A|\eta_B\:=\:W_B/Q_1B}$

如果$\mathrm{\eta_A \gt \eta_B\:=\:\gt\:W_A\:\gt\:W_B}$

$\mathrm{\Rightarrow\:W_A-W_B\:\gt\:0}$ (公式1)

在功的方向反轉後，熱機轉化為熱泵。這樣，A的功輸出就變成了B的功輸入，B充當熱泵。

功輸出是

$\mathrm{W_A-W_B\:\gt\:0}$，我們得到正淨功輸出。

$$\mathrm{\eta_A\:\gt\:\eta_B\:or\:\eta_{Reversible}\gt \eta_{Irreversible}}$$

卡諾定理的應用

以下是卡諾定理的一些應用和侷限性

• 熱機是熱力學系統的一個例子。

• 冰箱是熱泵的一個例子。

• 熱力學系統可以用來做功。

• 熱量自然地從高溫物體流向低溫物體。

• 在我們的宇宙中沒有永動機。

• 我們可以用卡諾定理來計算熱機可以做的功。

• 我們可以用卡諾定理來計算冷卻物體所需的能量

卡諾定理的侷限性

卡諾定理有四個主要的侷限性，如下所示

• 它描述了一個無摩擦的迴圈。這就是為什麼理想的發動機必須沒有摩擦。

• 它沒有描述從溫度T1開始並在溫度T2結束的迴圈，而是描述從較高溫度開始併到較低溫度的迴圈。

• 它描述了一個熵不變的可逆過程；然而，許多過程是不可逆的，熵會增加。

• 最後，沒有提到熱量流入或流出系統；因此我們不知道在執行過程中熱量是流入還是流出發動機。

常見問題

Q1. 用於查詢卡諾發動機獲得效率的表示式是什麼？

Ans. $\mathrm{Η_{max} \:= \:T_H \:- \:T_C / T_H}$

發動機的機械效率稱為每單位供熱量所做的功。

Q2. 卡諾發動機是誰提出的？

Ans. 尼古拉·萊昂納德·薩迪·卡諾

Q3. 可逆冰箱的COP是多少？

Ans. 其中之一是冰箱，它透過將熱量從外部來源轉移到自身來冷卻其內容物。由於沒有熱量轉移到其周圍環境或從其周圍環境轉移，因此其COP必須為零。

Q4. 簡單燃氣輪機迴圈的效率和功比是多少？

Ans. 與功比相比，效率比極低。