最大功率傳輸定理


最大功率傳輸定理 (MPT) 用於查詢負載電阻的值,在此值下,從電源到負載的功率傳輸量最大。

MPT 的陳述

連線到直流電源的電阻負載,當負載電阻等於從負載端子看到的電源的內部電阻時,接收到的功率最大。

MPT 的解釋

考慮以下電路圖,以確定 RL 的值,以便它從直流電源接收最大功率。

負載電流為:

$$I=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}}$$

因此,傳遞到電阻負載的功率為:

$$P_{L}=I^{2}R_{L}=(\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_{L}})^{2}R_{L}$$

眾所周知,負載電阻是可變的。因此,可以透過改變 RL 來最大化 PL

$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{(R_{th}+R_{L})^{2}}=\frac{V_{Th}^{2}R_{L}}{R_{Th}^{2}+R_{L}^{2}+2R_{Th}R_{L}}$$

$$\Rightarrow\:P_{L}=\frac{V_{Th}^{2}}{(\frac{R_{th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})}=\frac{V_{Th}^{2}}{D}$$

為了使 PL 最大化,分母 (D) 項應最小,即:

$$\frac{dD}{dR_{L}}=0$$

$$\frac{d}{dR_{L}}(\frac{R_{Th}^{2}}{R_{L}}+R_{L}+2R_{Th})=0$$

透過求解上述微分方程,我們得到:

$$R_{L}=R_{Th}$$

因此,如果負載電阻等於源網路的內部電阻,則最大功率將傳遞到負載,即:

負載電阻 = 源的內部電阻

最大功率 (Pmax) 的量

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$

這裡,Pmax 是負載消耗的最大功率量。

電源提供的總功率

$$P=2\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{V_{Th}^{2}}{2R_{Th}}$$

在最大功率傳輸期間電路的效率變為:

$$\eta=\frac{P_{max}}{P}\times\:100=50$$%

使用 MPT 求解網路的步驟

步驟 1 – 去除負載電阻,並將所有獨立電源替換為它們的內部電阻,並確定從開路負載端子觀察源網路的 RTh

步驟 2 – 根據 MPT,RTh 的值給出負載電阻 RL 的值,即 RTh = RL,這允許最大功率傳輸。

步驟 3 – 找到開路負載端子上的 VTh 值。

步驟 4 – 傳輸的最大功率量由下式給出:

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}$$

數值示例

求下圖所示電路中負載電阻 RL 的值,使功率最大傳輸。並計算最大功率值。

解決方案

步驟 1 – 去除負載電阻,並將所有獨立電源替換為它們的內部電阻(在本例中,12 V 理想電壓源短路),並確定給出與最大功率傳輸對應的 RL 的 RTh 值。

$$R_{Th}=1\:\Omega\:\lVert\:6\:\Omega=\frac{1\times\:6}{1+\:6}=\frac{6}{7}\:\Omega$$

根據最大功率傳輸定理:

$$R_{L}=R_{Th}=\frac{6}{7}\:\Omega$$

步驟 2 – 確定開路負載端子上的 VTh,

這裡,電路中的電流為:

$$I=\frac{12}{1+6}=\frac{12}{7}\:安培$$

由於負載端子是開路的,因此 VTh 是 6 Ω 電阻上的電壓降。因此,

$$V_{Th}=I\times\:6\Omega=\frac{12}{7}\times\:6=\frac{72}{7}\:伏特$$

傳遞到負載的最大功率量為:

$$P_{max}=\frac{V_{Th}^{2}}{4R_{Th}}=\frac{(72/7)^{2}}{4\times\:(6/7)}=30.857瓦特$$

因此,最大功率傳輸的負載電阻值為 (6/7 Ω),傳遞到負載的最大功率為 30.857 瓦特。

更新於:2021年6月8日

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