同步發電機或交流發電機的最大無功功率


對於**凸極同步發電機或交流發電機**,每相無功功率由下式給出:

$$\mathrm{𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:𝛿 −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta}\rbrace … (1)}$$

其中:

  • V 是每相端電壓。

  • Ef 是每相勵磁電壓。

  • $\delta$ 是 Ef 和 V 之間的每相相角。

  • Xd 是直軸同步電抗。

  • Xq 是交軸同步電抗。

為了使無功功率最大,

$$\mathrm{\frac{𝑑𝑄_{1𝜑}}{𝑑\delta}= 0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{𝑑}{𝑑\delta} \left(\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞}) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞}) cos\:2\delta\rbrace \right)= 0}$$

$$\mathrm{−\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta −\frac{2𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})sin\:2\delta = 0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝐸_{𝑓}\:sin\:\delta +\frac{𝑉}{𝑋_{𝑑}}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})(2\:sin\:\delta\:cos\:\delta) = 0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:cos\:\delta = −\frac{𝐸_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑉(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}… (2)}$$

將公式 (2) 中的值代入公式 (1),得到:

$$\mathrm{𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}\left(−\frac{𝐸_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑉(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}\right)−\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})+\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}}{(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}(2 cos^{2}\:\delta − 1)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=−\frac{{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑}−𝑋_{𝑞})}-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})+\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}}{(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}\left(\frac{2{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑉^{2}(𝑋_{𝑑}− 𝑋_{𝑞})^{2}}-1\right)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\lbrace{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞})-(𝑋_{𝑑} - 𝑋_{𝑞})}\rbrace−\frac{𝐸^{2}_{𝑓}𝑋_{𝑞}}{2\:𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})}+\frac{𝐸^{2}_{𝑓}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑\:𝑚𝑎𝑥}=\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}-\frac{{𝐸^{2}_{𝑓}}𝑋^{2}_{𝑞}}{4 𝑋_{𝑑}(𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞} )}… (3)}$$

公式 (3) 給出了凸極交流發電機每相無功功率的最大值。

同樣,對於**圓柱轉子交流發電機**,

$$\mathrm{𝑋_{𝑑} = 𝑋_{𝑞} = 𝑋_{𝑠}}$$

$$\mathrm{∴\:𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑠}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑠}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉}{𝑋_{𝑠}}(𝐸_{𝑓}\:cos\:\delta − 𝑉) … (4)}$$

從公式 (4) 可以看出,當 $𝐸_{𝑓}\:cos\:\delta = 𝑉$(即在正常勵磁下)時,$𝑄_{1𝜑}$ = 0,交流發電機在**功率因數為 1** 的情況下執行。

  • 當 𝐸𝑓 cos $\delta$ > 𝑉(即交流發電機**過勵磁**)時,無功功率為正。因此,交流發電機向母線提供無功功率。

  • 當 𝐸𝑓 cos $\delta$ < 𝑉(即交流發電機**欠勵磁**)時,無功功率為負。因此,交流發電機吸收無功功率。

更新於: 2021-10-01

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