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法律學同步發電機或交流發電機的功率輸入
圓柱轉子同步發電機或交流發電機的電路模型如圖 1 所示。
設：
𝑉 = 每相端電壓
$𝐸_{𝑓}$ = 每相勵磁電壓
$𝐼_{𝑎}$ = 電樞電流
$\delta$ = 負載角（𝑉 和 $𝐸_{𝑓}$ 之間的夾角）
在電路中應用基爾霍夫電壓定律，得到：
$$\mathrm{𝑬_{𝒇} = 𝑽 + 𝑰_{𝒂}𝒁_{𝒔} … (1)}$$
$$\mathrm{∴\:𝑰_{𝒂} =\frac{𝑬_{𝒇} − 𝑽}{𝒁_{𝒔}}… (2)}$$
其中：
$$\mathrm{同步阻抗,\:𝒁_{𝒔} = 𝑅_{𝑎}+ 𝑗𝑋_{𝑎} = 𝑍_{𝑠}\angle 𝜃_{𝑧} … (3)}$$
此外，對於同步發電機，勵磁電壓 ($𝐸_{𝑓}$) 超前於端電壓 (V) 負載角 ($\delta$)。因此，
$$\mathrm{𝑽 = 𝑉 \angle 0°\:\:則\:\:𝑬_{𝒇} = 𝐸_{𝑓} \angle \delta}$$
交流發電機每相復功率輸入
交流發電機每相的復功率輸入由下式給出：
$$\mathrm{𝑆_{𝑖𝑔} = 𝑃_{𝑖𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑖𝑔} =𝑬_{𝒇}{𝑰^{*}_{𝒂}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑖𝑔} = 𝑬_{𝒇} \left( \frac{𝑬_{𝒇} − 𝑽}{𝒁_{𝒔}}\right)^{∗}=𝐸_{𝑓}\angle \delta \left(\frac{𝐸_{𝑓}\angle \delta − 𝑉 \angle 0°}{𝑍_{𝑠} \angle 𝜃_{𝑧}} \right)^{∗}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑖𝑔} = 𝐸_{𝑓}\angle \delta \left(\frac{𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(\delta − 𝜃_{𝑧}) − \frac{𝑉}{𝑍_{𝑠}}\angle − 𝜃_{𝑧}\right)^{∗}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑖𝑔} = 𝐸_{𝑓} \angle \delta \left(\frac{𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(𝜃_{𝑧} − \delta) −\frac{𝑉}{𝑍_{𝑠}}\angle 𝜃_{𝑧}\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑖𝑔} = \frac{𝐸^{2}_{𝑓}} {𝑍_{𝑠}}\angle 𝜃_{𝑧} -\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle (𝜃_{𝑧} + \delta)}$$
$$\mathrm{∴\:𝑆_{𝑖𝑔} = 𝑃_{𝑖𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑖𝑔}}$$
$$\mathrm{= \frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}(cos\:𝜃_{𝑧} + 𝑗\:sin\:𝜃_{𝑧 })}$$
$$\mathrm{− \left[ \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} + \delta) + 𝑗\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(𝜃_{𝑧} + \delta)\right]… (4)}$$
$$\mathrm{}$$
交流發電機每相有功功率輸入
將式 (4) 的實部相等，得到交流發電機有功功率輸入 ($𝑃_{𝑖𝑔}$) 的表示式：
$$\mathrm{𝑃_{𝑖𝑔} =\frac{{𝐸^{2}_{𝑓}} }{𝑍_{𝑠}}cos\:𝜃_{𝑧} −\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} + \delta)}$$
從圖 2 所示的阻抗三角形，
$$\mathrm{cos\:𝜃_{𝑧} =\frac{𝑅_{𝑎}}{𝑍_{𝑠}}\:\:\:和 \:\:\:𝜃_{𝑧} = 90° − α_{𝑧}}$$
$$\mathrm{∴\:𝑃_{𝑖𝑔} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} −\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(90° + \delta − α_{𝑧})}$$
$$\mathrm{∴\:𝑃_{𝑖𝑔} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}+\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta − α_{𝑧} ) … (5)}$$
交流發電機每相無功功率輸入
將式 (4) 的虛部相等，得到交流發電機無功功率輸入 ($𝑄_{𝑖𝑔}$) 的表示式：
$$\mathrm{𝑄_{𝑖𝑔} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin\:𝜃_{𝑧} −\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(𝜃_{𝑧} + \delta)}$$
從圖 2 所示的阻抗三角形，
$$\mathrm{sin\:𝜃_{𝑧} =\frac{𝑋_{𝑠}}{𝑍_{𝑠}}\:\:和\:\:𝜃_{𝑧} = 90° − α_{𝑧}}$$
$$\mathrm{∴\:𝑄_{𝑖𝑔} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 }−\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(90° + \delta − α_{𝑧} )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{𝑖𝑔} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 }−\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta − α_{𝑧}) … (6)}$$
注意 – 交流發電機的總機械功率輸入為
$$\mathrm{機械功率輸入 = 𝑃_{𝑖𝑔} + 旋轉損耗}$$
交流發電機每相最大功率輸入條件
對於交流發電機的最大功率輸入，
$$\mathrm{\frac{𝑑𝑃_{𝑖𝑔}}{𝑑𝛿}= 0\:\:和\:\:\frac{𝑑^{2}𝑃_{𝑖𝑔}}{{𝑑\delta}^{2}} < 0}$$
$$\mathrm{∴\:\frac{𝑑}{𝑑\delta}\left(\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} + \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta − α_{𝑧})\right)= 0}$$
$$\mathrm{0 +\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta − α_{𝑧}) = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:cos(\delta − α_{𝑧}) = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\delta − α_{𝑧} = 90°}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\delta = 90° + α_{𝑧} = 90° + (90° − 𝜃_{𝑧} ) = 180° − 𝜃_{𝑧}}$$
因此，對於交流發電機的最大功率輸入，
$$\mathrm{負載角(𝛿) = 180° − 阻抗角(𝜃_{𝑧}) … (7)}$$
因此，從式 (5) 和 (7)，交流發電機每相的最大功率輸入為
$$\mathrm{𝑃_{𝑖𝑔(𝑚𝑎𝑥)} =\frac{𝐸^{2}_{𝑓}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}+\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}… (8)}$$
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