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法學同步發電機或交流發電機的輸出功率
圖1顯示了圓柱轉子同步發電機或交流發電機的電路模型。
設：
𝑉 = 每相端電壓
$𝐸_{𝑓}$ = 每相勵磁電壓
$𝐼_{𝑎}$ = 電樞電流
$\delta$ = 負載角（𝑉 和 $𝐸_{𝑓}$ 之間的夾角）
根據基爾霍夫電壓定律(KVL)，可得：
$$\mathrm{𝑬_{𝒇} = 𝑽 + 𝑰_{𝒂}𝒁_{𝒔} … (1)}$$
$$\mathrm{∴\:𝑰_{𝒂} =\frac{𝑬_{𝒇} − 𝑽}{𝒁_{𝒔}}… (2)}$$
其中：
$$\mathrm{同步阻抗,\:𝒁_{𝒔} = 𝑅_{𝑎}+ 𝑗𝑋_{𝑎} = 𝑍_{𝑠}\angle 𝜃_{𝑧} … (3)}$$
此外，對於同步發電機，勵磁電壓($𝐸_{𝑓}$) 比端電壓 (V) 超前負載角 ($\delta$)。因此：
$$\mathrm{𝑽 = 𝑉 \angle 0°\:\:則\:\:𝑬_{𝒇} = 𝐸_{𝑓} \angle \delta}$$
交流發電機每相的復功率輸出
$$\mathrm{𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑃_{𝑜𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑜𝑔} =𝑽{𝑰^{*}_{𝒂}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑽 \left( \frac{𝑬_{𝒇} − 𝑽}{𝒁_{𝒔}}\right)^{∗}=𝑽\angle 0° \left(\frac{𝐸_{𝑓}\angle \delta − 𝑉 \angle 0°}{𝑍_{𝑠} \angle 𝜃_{𝑧}} \right)^{∗}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑽 \angle 0° \left(\frac{𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(\delta − 𝜃_{𝑧}) − \frac{𝑉}{𝑍_{𝑠}}\angle − 𝜃_{𝑧}\right)^{∗}=\frac{𝑽𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}\angle(𝜃_{𝑧} − \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}\angle 𝜃_{𝑧}}$$
因此，同步發電機的復功率輸出為：
$$\mathrm{𝑆_{𝑜𝑔} = 𝑃_{𝑜𝑔} + 𝑗𝑄_{𝑜𝑔}}$$
$$\mathrm{= \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} - \delta) + 𝑗\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(𝜃_{𝑧} - \delta) -\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}(cos\:𝜃_{𝑧} + 𝑗\:sin\:𝜃_{𝑧 })… (4)}$$
交流發電機每相的有效輸出功率
將公式(4)的實部相等，可得到有效輸出功率($𝑃_{𝑜𝑔}$)
$$\mathrm{𝑃_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉{𝐸_{𝑓}} }{𝑍_{𝑠}}cos(𝜃_{𝑧} − \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}cos\:𝜃_{𝑧}}$$
根據圖2所示的阻抗三角形：
$$\mathrm{cos\:𝜃_{𝑧}=\frac{𝑅_{𝑎}}{𝑍_{𝑠}}}$$
以及
$$\mathrm{ 𝜃_{𝑧} = 90° − {α_{𝑧}}}$$
$$\mathrm{∴\:𝑃_{𝑜𝑔} = \frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(90° - \delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑃_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} … (5)}$$
功率($𝑃_{𝑜𝑔}$) 也稱為_交流發電機產生的電功率_。
交流發電機每相的無功輸出功率
將公式(4)的虛部相等，可得到無功輸出功率($𝑄_{𝑜𝑔}$)
$$\mathrm{𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}(𝜃_{𝑧} - \delta) −\frac{𝑉^{2}}{𝑍_{𝑠}}sin\:𝜃_{𝑧}}$$
根據圖2所示的阻抗三角形，可得：
$$\mathrm{sin\:𝜃_{𝑧} =\frac{𝑋_{𝑠}}{𝑍_{𝑠}}}$$
以及
$$\mathrm{𝜃_{𝑧} = 90° − α_{𝑧}}$$
$$\mathrm{∴\:𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(90° - \delta + α_{𝑧} )−\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑄_{𝑜𝑔} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta + α_{𝑧})−\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑋_{𝑠 } … (6)}$$
交流發電機每相最大輸出功率的條件
對於交流發電機的最大輸出功率：
$$\mathrm{\frac{𝑑𝑃_{𝑜𝑔}}{𝑑𝛿}= 0\:\:且\:\:\frac{𝑑^{2}𝑃_{𝑜𝑔}}{{𝑑\delta}^{2}} < 0}$$
因此：
$$\mathrm{\frac{𝑑}{𝑑\delta}\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}sin(\delta + α_{𝑧})-\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎} \right]= 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}}cos(\delta + α_{𝑧})-0 = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: cos(\delta +α_{𝑧}) = 0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\delta + α_{𝑧} = 90°}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\delta = 90° - α_{𝑧} = 𝜃_{𝑧} … (7)}$$
因此，對於交流發電機的最大輸出功率：
$$\mathrm{負載角(𝛿) = 阻抗角(𝜃_{𝑧})}$$
因此，根據公式(5)和(7)，**交流發電機的最大輸出功率**由下式給出：
$$\mathrm{𝑃_{𝑜𝑔(𝑚𝑎𝑥)} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑍_{𝑠}} -\frac{𝑉^{2}}{𝑍^{2}_{𝑠}}𝑅_{𝑎}… (8)}$$
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