尼科馬庫斯定理

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根據尼科馬庫斯定理，前n個整數的立方和等於第n個三角數的平方。

或者，我們也可以說：

前n個自然數的立方和等於前n個自然數之和的平方。

用代數式表示：

$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n i^3=\lgroup \frac{n^2+n}{2}\rgroup^2}$$

定理

$$1^3 = 1$$

$$2^3 = 3 + 5$$

$$3^3 = 7 + 9 + 11$$

$$4^3 = 13 + 15 + 17 + 19\vdots$$

推廣

$$n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup$$

數學歸納法證明

對於所有n ∈ 自然數，設P(n) 為命題：

$$n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup$$

歸納基礎

$$\mathrm{P\lgroup 1\rgroup\: 為真，因為這只是說\: 1^{3}= 1}$$

歸納假設

現在我們需要證明，如果P(k) 為真，其中k≥1，那麼邏輯上可以得出

$$\mathrm{P\lgroup k+1\rgroup 為真。}$$

所以這是我們的歸納假設

$$k^3=\lgroup k^2−k+1\rgroup+\lgroup k^2−k+3\rgroup+⋯+ \lgroup k^2+k−1\rgroup$$

然後我們需要證明：

$$\mathrm{\lgroup k+1\rgroup^{3}=\lgroup\lgroup k+1\rgroup^{2}- \lgroup k+1\rgroup+1\rgroup+\lgroup\lgroup k+1\rgroup{2}- \lgroup k+1\rgroup+3\rgroup+\dotso+\lgroup\lgroup k+1\rgroup ^{2}+\lgroup k+1\rgroup-1\rgroup}$$

歸納步驟

$$\mathrm{設 \:T_{k}=\lgroup k^{2}−k+1\rgroup+\lgroup k^{2}−k+3\rgroup+⋯+ \lgroup k^{2}+k−1\rgroup.}$$

我們可以將其表示為：

$$\mathrm{T_{k}=\lgroup k^{2}−k+1\rgroup+\lgroup k^{2}−k+3\rgroup+⋯+\lgroup k^{2}-k+2k−1\rgroup.}$$

我們看到T_k中有K項。

讓我們考慮T_k+1中的一般項((k+1)²−(k+1)+j)：

$$\mathrm{\lgroup k+1\rgroup^{2}−\lgroup k+1\rgroup+j=k^{2}+2k+1− \lgroup k+1\rgroup+j}$$

$$\mathrm{=k^{2}+j+2k}$$

因此，在Tk+1中，每一項都比T_k中對應的項大2k。

$$\mathrm{T^{k}+1= T^{k} +k\lgroup 2k\rgroup+ \lgroup k+1\rgroup^{2}+\lgroup k+1\rgroup−1}$$

$$\mathrm{= k^{3}+k\lgroup 2k\rgroup+\lgroup k+1\rgroup^{2}+\lgroup k+1\rgroup−1}$$

$$\mathrm{= k^3+2k^2+k^2+2k+1+k+1−1}$$

$$\mathrm{= k^3+3k^2+3k+1}$$

$$\mathrm{= \lgroup k+1\rgroup^3}$$

$$\mathrm{所以\: P\lgroup k\rgroup \Rightarrow P\lgroup k+1\rgroup}$$

根據數學歸納法原理，結果成立。

因此

$$\mathrm{n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup}$$

問題陳述

給定一個數字n，驗證n的尼科馬庫斯定理。如果定理成立，則列印“Yes”，否則列印“No”。

方法

為了驗證尼科馬庫斯定理，我們將首先計算立方和。然後我們將計算自然數之和。之後，我們將比較立方和與自然數之和的平方。

示例

$$\mathrm{對於\: n = 5} $$

$$\mathrm{立方和\colon 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 225}$$

$$\mathrm{自然數和\colon 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15}$$

解決方案

為了計算自然數之和，我們將使用我們已經知道的公式，即：

$$\mathrm{前N個自然數之和= n*\lgroup n+1\rgroup/2.}$$

我們稱之為 **自然數和**。

為了計算立方和，我們將從一個值為0的變數開始。然後迭代所有自然數，計算它們的立方並將這些值新增到變數中，我們稱之為 **立方和**。

然後我們將計算出的 **立方和** 與 **自然數和** 的平方進行比較。如果它們相等，則尼科馬庫斯定理將得到驗證。

虛擬碼

Start
sumOfCubes = 0;
For 1=< k <= n
sumOfCubes = sumOfCubes + k^3;
sumOfNatural= n * (n + 1) / 2;
If (sumOfNatural)^2 is equal to sumOfCubes
Then print Yes
Else Print No
End

示例1

下面是一個驗證尼科馬庫斯定理的C++程式：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to calculate the sum of cubes and to find the sum of natural numbers and then comparing them
void verifyTheorem(int n){
   // Initializing sum as 0
   int sumOfCubes = 0;
   // Iterating through natural numbers and adding their cubes to sum
   for (int k = 1; k <= n; k++){
      sumOfCubes += k * k * k;
   }
   // Check if sum is equal to given formula. Calculating the sum of natural numbers using the formula
   int naturalSum = n * (n + 1) / 2;
   // Comparing square of naturalSum to sumOfCubes
   if (sumOfCubes == naturalSum * naturalSum) {
      // Printing Yes if they are equal
      cout << "Yes";
   }
   else {
      // Printing No if they are not equal
      cout << "No";
   }
}

int main(){
   // Given value of n
   int n = 6;
   // Function call to verify theorem
   verifyTheorem(n);
   return 0;
}  

輸出

對於輸入：i = 6，上面的C++程式將產生以下輸出：

Yes

示例2

我們可以透過將verify函式分成多個函式來更清晰地編寫上面的程式碼。

// Cpp program that verifies Nicomachus' Theorem
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to return the sum of cubes of numbers from 1 to n
int calcsumOfCubes(int n){
   // Initializing sum as 0
   int sumOfCubes = 0;
   // Iterating through natural numbers and adding their cubes to sum
   for (int k = 1; k <= n; k++) {
      sumOfCubes += k * k * k;
   }
   return sumOfCubes;
}
// Calculating the sum of natural numbers using the formula
int calnaturalSum(int n){
   return n * (n + 1) / 2;
}
// Function to calculate the sum of cubes and to find the sum of natural numbersand then comparing them
void verifyTheorem(int n){
   // Function call to calculate sum of cubes
   int sumOfCubes = calcsumOfCubes(n);
   // Function call to calculate sum of natural numbers
   int naturalSum = calnaturalSum(n);
   // Comparing square of naturalSum to sumOfCubes
   if (sumOfCubes == naturalSum * naturalSum){
      // Printing Yes if they are equal
      cout << "Yes";
   }
   else {
      // Printing No if they are not equal
      cout << "No";
   }
}

int main()
{
   // Given value of n
   int n = 6;
   // Function call to verify theorem
   verifyTheorem(n);
   return 0;
}

輸出

對於輸入i = 6，上面的C++程式將產生以下輸出：

Yes

在這篇文章中，我們學習了尼科馬庫斯定理並對其進行了驗證。