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法律研究二項式定理推論
二項式定理描述瞭如何展開任何有限次冪的表示式。二項式定理是一個強大的展開工具，在代數、機率和其他領域都有應用。
假設我們有一個表示式 $\mathrm{(x\:+\:y)^n}$，我們需要展開該表示式，我們可以使用二項式定理的廣義方程來實現。
二項式定理定義了兩個不同項的二項式表示式。二項式定理的一般方程為
$$\mathrm{(a+b)^{n}=^n{C_{r=0}}a^{n-r}b^{0}\:+\:^n{C_{r=1}}a^{n-1}b^{1\:}+\:........\:+\:^n{C_{r=n-1}}a^{1}b^{n-1}+^n{C_{r=n}}a^{0}b^{n}}$$
$$\mathrm{=n_{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}a^{n-r}b^{r}}$$
其中我們可以使用以下公式獲得 $\mathrm{^n{C_{r}}}$ 的值：
$$\mathrm{^n{C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!r!}}$$[0! 始終等於 1]
注意
表示式 $\mathrm{(a\:+\:b)^{n}}$ 的二項式展開式中共有 n+1 項。
每項中 a 和 b 的冪之和將等於 n。
例如，如果我們想展開 $\mathrm{(x \:+\: y)^{5}}$。使用二項式表示式我們可以輕鬆地做到這一點。
$$\mathrm{(x+y)^{5}=5_{\sum_{r=0}}x^{5-r}.y^{r}}$$
$$\mathrm{(x+y)^{5}=^5{C_{0}}x^{5}.y^{0}+^5{C_{1}}x^{4}.y^{1}+^5{C_{2}}x^{3}.y^{2}+^5{C_{3}}x^{2}.y^{3}+^5{C_{4}}x^{1}.y^{4}+^5{C_{5}}x^{0}.y^{5}}$$
計算所有 $\mathrm{^n{C_{r}}}$ 的值並將它們的值代入表示式後，我們得到：
$$\mathrm{(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10X^{3}y^{2}+10X^{2}y^{3}+5x^{1}y^{4}+y^{5}}$$
透過這種方式，使用二項式定理，我們可以使用二項式公式將任何表示式展開到有限次冪的形式。
我們將詳細討論二項式定理的推論及其在 C++ 中的實現，以解決與代數和組合相關的各種問題。
二項式定理推論
推論 1
二項式定理的這個推論指出，任何表示式的二項式展開式中所有係數的和等於 $\mathrm{ 2^{n}}$，其中 n 是表示式的冪。數學上，它可以寫成
$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}=2^{n}}$，對於任何正數 n
證明
我們都知道二項式展開的一般方程為：
$$\mathrm{(a+b)^{n}=^n{C_{r=0}}a^{n-0}b^{0}+^n{C_{r=1}}a^{n-1}b^{1}+........+^n{C_{r=n-1}}a^{1}b^{n-1}+^n{C_{r=n}}a^{0}b^{n}}$$
$$\mathrm{(1+1)^{n}=^n{C_{r=0}}1^{n-0}1^{0}+^n{C_{r=1}}1^{n-1}1^{1}+........+^n{C_{r=n-1}}1^{1}1^{n-1}+^n{C_{r=n}}1^{0}1^{n}}$$
$$\mathrm{=^n{C_{r=0}}+^n{C_{r=1}}+........+^n{C_{r=n-1}}+^n{C_{r=n}}}$$
$$\mathrm{=^n{\sum_{r=0}}^n{C_{r}}=2^{n}.}$$
使用這個推論，我們可以得到任何表示式升到有限次冪的所有係數的和。
現在讓我們看看如何在 C++ 中實現二項式定理的這個推論，以找到任何表示式的二項式展開式中所有係數的和。
要找到表示式 $\mathrm{(x\:+\:y)^{n}}$ 的二項式展開式中所有係數的和，我們將取 n 作為輸入。
要計算所有係數的和，我們只需要找到 $\mathrm{2^{n}}$ 的值。這將是我們需要的答案。
使用此推論查詢係數和的 C++ 程式碼
示例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate the sum of coefficients
long long int sumofcoefficients(int n){
long long int a = pow(2,n);
return a;
}
int main()
{
int n=18; //(x+y)^n
cout<<"The sum of all the coefficients in binomial expansion of (x+y)^n "<<sumofcoefficients(n)<<endl;
return 0;
}
輸出
The sum of all the coefficients in binomial expansion of (x+y)^n 262144
時間複雜度：O(1)
空間複雜度：O(1)
推論 2
這個推論定義了從 r=0 到 r=n 的 r 和第 r 個二項式係數之和之間的關係。這個推論指出，二項式係數的乘積之和等於 $\mathrm{n*2^{n-1}}$。
這個推論可以表示為
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}(r*^n{C_{r}})=n*2^{n-1}}$$
證明
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}(r*^n{C_{r}})=n_{\sum_{r=0}}(^r{C_{1}}*^n{C_{r}})=^n{\sum_{r=0}}(\frac{r!}{(r-1)!1!}*\frac{n!}{(n-r)!r!})}$$
這可以進一步簡化為：
$$\mathrm{n_{\sum_{r=0}}=(\frac{n*(n-1)!}{(r-1)!(n-1-(r-1)!)})=n*n_{\sum_{r=0}}n-1_{C_{r-1}}=n*2^{n-1}.}$$
我們可以使用這個推論找到任何正數 n 的 r 和第 r 個二項式係數的乘積之和，其中 r 大於或等於 0 且 r 小於或等於 n。
二項式定理推論的 C++ 實現
如果我們想找到 r 和第 r 個二項式係數的乘積之和，其中 r 的範圍為 [0,n]，我們可以使用任何正整數 n。
我們將使用上述推論來計算它。
使用上述推論的 C++ 程式碼
示例
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//function to calculate sum of product of r and rth binomial coefficients
long long int sum(int n){
long long int a=0;
a = n * pow(2,n-1); //using corollary of binomial theorem
return a; // return the sum
}
int main()
{
int n;
n=9;
cout<<"The sum of product of r and rth binomial coefficients is "<<sum(n)<<endl;
return 0;
}
輸出
The sum of product of r and rth binomial coefficients is 2304
時間複雜度：O(1)
空間複雜度：O(1)
結論
本文討論了二項式定理的概念以及任何表示式的二項式展開的一般形式。我們討論了二項式表示式的幾個性質以及二項式定理的推論，以及它們如何用於解決代數問題，以及它們在 C++ 中的實現，以簡化求解過程。
我希望在閱讀完本文後，您已經理解了二項式展開和二項式定理的推論及其實現。
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