正整數指數的二項式定理

---

引言

正整數指數的二項式定理指出：“展開式中項的總數比指數多一”。該陣列的第n行給出了(a + b)ⁿ展開式中a的降冪和b的升冪的係數；該陣列被稱為帕斯卡三角形，以法國數學家布萊茲·帕斯卡(1623-1662)命名。

事實上，這個三角形要古老得多；早在1303年，它就出現在中國數學家朱世傑的作品中。事實上，這在公元10世紀被印度數學家哈拉尤達描述為梅魯普拉斯特拉，比帕斯卡提出早700年。不僅如此，哈拉尤達的梅魯普拉斯特拉只是對平伽1200多年前(大約公元前200年)發明的規則的闡明。

令人驚奇的是，公元前三世紀的作家平伽在他的《贊達斯蘇特拉》中給出了以下表格，用於查詢n個字母一次、兩次、三次……取一個、兩個、三個……時的組合數。首先畫一個正方形。在它下面，從下邊的中間開始，在兩邊畫兩個正方形。同樣地，在這些正方形下面畫3、4、5個正方形，在頂部的正方形的中間以及每一行第一個和最後一個正方形內寫數字1。在其他每個正方形內，要寫的數字是上面兩個重疊的正方形中數字的和。觀察你所得到的是所謂的帕斯卡三角形。

事實上，該圖說明了C(n+1, r) = C(n, r) + C(n, r-1)

在本教程中，我們將學習正整數指數的二項式定理，我們將學習二項式展開式以及二項式展開式的中間項。我們還將學習二項式展開式中特定項係數的公式，並利用這些知識來解決一些示例問題。讓我們首先從二項式定理開始。

正整數指數的二項式定理

任何只包含一項的表示式，例如a、5、2x²，即任何變數或常數，或一些常數和/或變數的乘積，無論是否帶有一些冪，通常稱為單項式。如果兩個單項式由“+”或“-”號連線，則所得表示式稱為二項式。例如，2+x、6x-y（即a+x的形式，包含兩項a和x，並非同時都是常數）是一些二項式表示式。

二項式展開式

二項式定理的主題內容與這些二項式表示式有關。

到目前為止，你已經知道(a+b)²和(a+b)³展開式的公式，它們是透過直接將(a+b)分別乘以兩次和三次得到的。但是，如果指數n是一個非常大的正數，則透過直接乘法來求(a+b)ⁿ是不可行的。因此，對於任何正數n，(a+b)ⁿ表示式的通用公式具有很大的價值。艾薩克·牛頓爵士在1664-1665年創新了這個公式。這個公式被稱為“二項式定理”，其陳述如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

對於任何正整數n，

其中y, x是實數。

中間項

(a+b)ⁿ的二項式表示式包含(n+1)項，因此項數為偶數或奇數，取決於n是奇數還是偶數。如果(n+1)是奇數，則顯然只有一箇中間項，即(a+b)ⁿ展開式的第(n/2+1)項；但是如果(n+1)是偶數，則顯然有兩個中間項，即(a+b)ⁿ二項式展開式的第(n+1)/2項和第((n+1)/2+1)項。

二項式展開式中一項的係數

正如我們已經看到的，(a+b)ⁿ的二項式展開式包含(n+1)項。從開頭算起的第r項t_r和從結尾算起的第r項t'_r被稱為等距項，其中r = 1,2,3,…, n+1。因此，第一項t₁和最後一項t_n+1(=t₁')是等距項，第二項t₂和倒數第二項t_n(=t₂')是等距項。現在，從結尾算起的第r項t_r'是從開頭算起的第[(n+1)-r+1]項，即第(n+2-r)項。

因此，二項式定理的通項是

$$t_r = C(n, r-1)a^{n-r+1}x^{r-1}$$

例題

1) 求(2x + 1/(3x²))⁹中與x無關的項。

答：設第(r+1)項與x無關。

現在，t_r+1 = C(9,r)(2x)^9-r(1/(3x²))^r = C(9,r)3^-rx^9-r-2r

根據假設，x^9-r-2r = x⁰; 9-3r = 0; r = 3

因此，與x無關的項是第4項。

現在，所需的項是t₄ = C(9,3)2⁶3^-3 = 1792/9

2) 如果(2/3x² - 1/(3x))⁹展開式中的第(n+1)項與x無關，則求n的值。

答：根據題意，給定二項式表示式展開式中的第(n+1)項與x無關。

現在，t_n+1 = C(9,n)(2/3x²)^9-n(-1/(3x))ⁿ = C(9,n)(2/3)^9-n(-1/3)ⁿx^18-3n

因此，x^18-3n = x⁰; 18-3n = 0; n = 6

因此，n的所需值為6。

結論

在本教程中，我們學習了正整數指數的二項式定理，我們還學習了二項式展開式以及二項式展開式的中間項。我們還學習了二項式展開式中特定項係數的公式，並利用這些新獲得的知識來解決一些示例問題。

表示式(x+y)ⁿ的展開式基本上是二項式定理，展開式如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

它首先由艾薩克·牛頓提出，儘管這在公元10世紀被印度數學家哈拉尤達描述為梅魯普拉斯特拉。透過按正確順序放置值形成的三角形被稱為帕斯卡三角形。

常見問題解答

1. 定義什麼是二項式定理？

如果指數n是一個非常大的正數，則透過直接乘法來求(a+b)ⁿ是不可行的。艾薩克·牛頓爵士在1664-1665年創新了這個公式。這個公式被稱為“二項式定理”，其陳述如下：

$$(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)x^1y^{n-1} + C(n,n)x^0y^n$$

2. 求二項式定理中存在的常數項。

常數項基本上是不含任何變數的項。在

$$(a+y)^n = C(n,0)a^ny^0 + C(n,1)a^{n-1}y^1 + C(n,2)a^{n-2}y^2 + ... + C(n,n-1)a^1y^{n-1} + C(n,n)a^0y^n$$

中，考慮a為常數，則第一項C(n,0)aⁿ是常數項。

3. 說明二項式定理中存在的係數。

二項式定理的通項是t_r = C(n, r-1)a^n-r+1x^r-1。根據此值，我們可以很容易地說，二項式定理中通項的係數是C(n, r-1)a^n-r+1，它是x^r-1的係數。

4. 求二項式定理中存在的通項。

從結尾算起的第r項t_r'是從開頭算起的第[(n+1)-r+1]項，即第(n+2-r)項。因此，二項式定理的通項是

$$t_r = C(n, r-1)a^{n-r+1}x^{r-1}$$

5. 說明二項式定理中存在的項數。

如果我們考慮展開式

(a+y)ⁿ = C(n,0)aⁿy⁰ + C(n,1)a^n-1y¹ + C(n,2)a^n-2y² + ... + C(n,n-1)a¹y^n-1 + C(n,n)a⁰yⁿ，則此處存在的項數為(n+1)。