利用因式定理證明對於任何奇正整數 n，$(x+a)$ 都是 $(x^n+a^n)$ 的因式。

待解決：利用因式定理證明$(x+a) $ 是 $(x^n+a^n)$ 的因式，其中 n 為任何奇正整數。

解答

根據因式定理，如果 $f(x)$ 是一個次數為 n ≥ 1 的多項式，並且 'a' 是任何實數，那麼，$(x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式，當且僅當 $f(a)=0$。

令 $p(x) = x^n + a^n$，其中 n 為奇正整數。

令 $(x+a)= 0$

$=> x = -a$

考慮

$p(-a) = (-a) ^n + (a) ^n$

=$ -a^n + a^n$

= 0

由於 n 是奇數，根據因式定理，

當 n 為奇正整數時，$(x+a)$ 是 $p(x)$ 的因式。

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更新於： 2022年10月10日

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