對於任意正整數n，證明$n^3-n$可被6整除。

已知

$n^3\ -\ n$

要證明

這裡我們要證明，對於任意正整數n，$n^3-n$可被6整除。

解答

讓我們考慮：

$x\ =\ n^3\ –\ n$

提取公因數n

$x\ =\ n(n^2\ –\ 1)$

$x\ =\ n(n^2\ –\ 1^2)$

使用公式 {$a^2-b^2=$ (a $+$ b)(a $-$ b)}

$x\ =\ n(n\ +\ 1)(n\ –\ 1)$

我們知道(n $-$ 1)，(n)和(n $+$ 1)是三個連續的數。所以我們可以得出結論

• 其中一個數一定是偶數，且$x$可以被2整除。

• 其中一個數一定是3的倍數，且$x$也可以被3整除。

現在，

如果一個數既可以被2整除又可以被3整除，那麼這個數就可以被6整除。

所以，對於任意正整數n，$n^3\ –\ n$都可以被6整除。

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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